幂级数求和问题20140616.ppt

一、 函数项级数的概念 定理2. 若 例4. 例4. 三、幂级数的运算 定理4 若幂级数 二、求幂级数收敛域的方法 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 注: 求幂级数的收敛域,应先求出收敛半径和收敛区间,再考虑区间端点的敛散性,而区间端点的敛散性可转化为数项级数敛散性的判别. 一般不能用比值判别法判定区间端点的敛散性. 内容小结 1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法, 也可通过换元化为标准型再求 . 求函数项级数的收敛域的步骤: 解: 因 故收敛域为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; 3. 求下列级数的收敛域: 的收敛域. 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数为 此级数发散; 当 t = – 2 时, 级数为 此级数收敛; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 常用已知和函数的幂级数 五、（10分）求幂级数 的收敛域及和函数. 解: 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 此级数收敛; (0910C) 五、（10分）求幂级数 的收敛域及和函数. 另解: (0910C) 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 此级数收敛; 五、（10分）求幂级数 的收敛域及和函数. 由和函数的连续性知 (0910C) 解: 1. 解: 五、综合题（每小题10分，共20分）(1213C) 该级数发散. 该级数发散. 1. 五、综合题（每小题10分，共20分） (1213C) 解: 五、综合题（每小题10分，共30分）(1112C) 1. 解: 该级数发散 该级数收敛 五、综合题（每小题10分，共30分）(1112C) 1. 解: 四、计算题（每小题8分，共30分）(1011C) (4) 求级数 的收敛域. 解: 此级数收敛; 1. 解二: 五、综合题（每小题10分，共20分）(1213C) 该级数发散. 该级数发散. 1. 解二: 五、综合题（每小题10分，共20分） 两边逐项积分 (1213C) 1. 解三: 五、综合题（每小题10分，共20分） 该级数发散 该级数发散 (1213C) 1. 解三: 五、综合题（每小题10分，共20分） 两边逐项求导 (1213C) 五、综合题（每小题10分，共30分） 1. 解: 该级数发散 该级数收敛 (1112C) 五、综合题（每小题10分，共30分） 1. 解: 两边逐项求导 (1112C) 两边逐项积分 练习: 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 4. 求下列幂级数的和函数： 级数发散, (2) x≠0 显然 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 又 CH11 级数 一、基本概念: 二、计算: 数项级数、幂级数 调和级数 几何级数 级数的展开形式 备注 一般项 简写形式 aqn-1 p级数 无穷级数 发散 拆项相消 收敛 p 1 时, 绝对收敛 ; 0 p≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 发 散 发 散 收 敛 阿贝尔 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = +? 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 可能收敛也可能发散 . 外发散; 在 (－R