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平面向量（教师版） 一、知识梳理 1．向量的概念与线性运算 特别提醒： 1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||. 2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. 4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 6) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。 7) 重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0） 8) 两个向量平行的充要条件：a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件. 9) 向量与有向线段的区别： ① 向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ② 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 2.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行. （2）运算律：λ（μa）=（λμ）a， （λ+μ）a=λa+μa， λ（a+b）=λa+λb. 3．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个__不共线__不共线向量，那么对于这一平面内的_任一_向量，有且只有_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 特别提醒： (1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 4．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………， 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作………… 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为 特别地，，， 5．平面向量数量积（内积）的定义： （1）已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos(_叫与的数量积，记作； （2）已知两个非零向量，，则 特别提醒： (1)（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0 (2)两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 (3)( = ( =||cos(； (4)当与同向时，( = ||||；当与反向时，( = (|||| 特别的( = ||2或 (5)cos( = ； (6)|(| ≤ ||||； 重要不等式： 6．“投影”的概念：如图 定义： _____|b|cos(_______叫做向量b在a方向上的投影 特别提醒： 投影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当( = 0(时投影为 |b|；当( = 180(时投影为 (|b| 7.向量垂直的判定：设，，则 向量平行的判定：设，，其中(，则∥(() 8.两向量夹角的余弦（） cos( = 特别提醒： (1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别 问题1：两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。 例：规定，·=·=0(不是零向量，注意与λ=(λ∈R)区别) 问题2：相关概念及运算的区别 ⑴ 若a、b为实数，且 a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=． ⑵ 若a、b、c∈R，且a≠0，ab=ac可得b=c，·=·及≠0却不能推出=．因若、夹角为θ1，、夹角为θ2，则由·=·得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)． ⑶ 若a、b、c∈R，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、、，则(·)·与·(·)都是无意义的，·与·是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(·)≠(·)，·与向量相乘是与共线的向量，而数量·与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的． ⑷ 若a、b∈R，则|a·b|=|a|·|b|，、，却有|·|≤||·||，等号当且仅当∥时成立．这是因为|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1． 二、热点考点题型探析 考点一： 向量相关的基本概念及加减