04_三角函数及三角恒等变换(共46页).doc

第四编 三角函数及三角恒等变换 §4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③{第一象限的角} ④以上都不对 答案 ④ 2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 . 答案 3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 . 答案 1或4 4.已知角终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin= . 答案 -cos2 5. 是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos=,则sin= . 答案 例1 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置. 解 ∵是第二象限的角， ∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）. （1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z）， ∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈Z）， 当k=2n（n∈Z）时， n·360°+45°＜＜n·360°+90°； 当k=2n+1（n∈Z）时， n·360°+225°＜＜n·360°+270°. ∴是第一或第三象限的角. （3）∵k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）， 当k=3n（n∈Z）时， n·360°+30°＜＜n·360°+60°； 当k=3n+1（n∈Z）时， n·360°+150°＜＜n·360°+180°； 当k=3n+2（n∈Z）时， n·360°+270°＜＜n·360°+300°. ∴是第一或第二或第四象限的角. 例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？ （2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r, 所以扇形的周长是2r+r. 依题意，得2r+r=r, ∴=-2=(-2)× ≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S=r2=（-2）r2. （2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) ① 扇形的面积S=lr，将①代入，得 S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25, 所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时 l=20-2×5=10,==2. 所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值. 例3 （14分）已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值. 解 ∵角的终边在直线3x+4y=0上， ∴在角的终边上任取一点P（4t,-3t） (t≠0), 2分 则x=4t,y=-3t, r=, 4分 当t＞0时，r=5t, sin=,cos=, tan=; 8分 当t＜0时，r=-5t,sin=, cos=, tan=. 12分 综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=; t＜0时，sin=,cos=-,tan=. 14分 例4 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合: (1)sin≥;(2)cos≤. 解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为 |2k+≤≤2k+，k∈Z . （2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 |2k+≤≤2k+，k∈Z . 1.已知是第三象限角，问是哪个象限的角？ 解 ∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z）， 60°+k·120°＜＜90°+k·120°. ①当k=3m(m∈Z)时，可得 60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）. 故的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z). 故的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得 300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）. 故的终边在第四象限. 综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB的圆心