1-8 函数的连续性与函数的间断点.ppt

二、函数的连续性 三、函数的间断点 间断点分类: 例4. 内容小结 思考与练习 P65 题5 提示: 蚌埠学院 高等数学 一、问题的提出 二、函数的连续性 三、函数的间断点 四、小结与思考判断题 第一章 一、问题的提出 0 T(时间） 温度C 4 14 24 一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。 连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。 1.函数的增量 2、函数在一点连续的定义 例1 证 由定义知， 3、单侧连续性 左连续 右连续 结论 例2. 解 右连续但不左连续 , 4、区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。 注: ⑴ 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 ⑵ 有理整函数在区间(-∞,+∞)内是连续的。 ⑶ 有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的。 例3. 证 (夹逼准则） 在 在 (1)函数 (2)函数 不存在; (3)函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 ,但 虽有定义 ,且 称为间断点 . 在 无定义 ; 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 例5. 解 注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 例6. 解 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点. 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 3. P64 题 2 , P65 题 5 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点, * *