1,2 一元函数.ppt

习惯上 , 的反函数记成 例如, 函数 其反函数为 性质: (1) 函数 与其反函数 的图形关于 直线 对称 . 其反函数 (减) (减) . (2) 单调递增 也单调 递增 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 指数函数 x y O 例4 解 分段函数的反函数应当逐段求： 解得 反函数为 解得 反函数为 又对于直接函数 y = x 3 来说其值域为[ 1, 8 ] ， 故反函数 的定义域为[ 1, 8 ] ; x?[ 1, 8 ] ; 解得 反函数为 综上所述，所求反函数为 2. 复合函数 则当 由上述函数链可定义 设有函数链 记作 由 D 到 Y 的复合函数 , 时, 或 D f (D1) D1 D2 注 1° 并非任何两个 函数都能构成复合函数， 函数的复合是有条件的. 条件： 如： O u -1 1 2 2°求复合函数定义域的方法：由外向内，要求内层函数的函数值落在外层函数的定义域中. 解 故 例5 六、基本初等函数 统称为 基本初等函数. 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 由常数及基本初等函数 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 . 例如 , 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和 复合步骤所构成 , 可表为 故为初等函数. 初等函数 非初等函数举例: 符号函数 当 x 0 当 x = 0 当 x 0 取整函数 当 一般地，不能用一个式子表示的分段函数不是初等函数. 内容小结 定义域 对应规律 2. 函数的特性 有界性, 奇偶性, 单调性, 周期性 3. 初等函数的结构 1. 函数的定义及函数的二要素 例1 已知函数 求 及 解 函数无定义 并写出定义域及值域 . 定义域 值 域 = 例2 证 设f (x)是定义在(-a,a)内的任意函数，证明 （1）f (x) + f (-x) 是偶函数； （2）f (x) – f (-x) 是奇函数； （3）f (x)总可以表示为一个偶函数与一个 奇函数之和. (1)令F(x) = f (x) + f (-x), 因为在对称区间(a,-a)内， 有 F(-x)= f (-x) + f (x) = f (x) + f (-x)= F(x), 所以，F(x)=f (x) + f (-x)是偶函数. (2)令F(x)=f (x) – f (-x), 所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函数. (3)作以上两个函数的线形组合,可得 f(x)= 即 f(x)表示一个偶函数与一个奇函数之和. F(-x)=f(-x)-f(x) =-[f(x)-f(-x)]=-F(x), 例3 求 的反函数及其定义域. 解 当 时, 则 当 时, 则 当 时, 则 反函数 定义域为 令 则 故 解 例4 例5 解 例6 解 例7 解 ______ O 1 -1 x y 例8 已知 解 故 又因 所以 从而 的定义域为 高等数学的基础 函数 极限 — 研究的对象 — 研究的方法 函数 极限 连续 第一节 函数及性质 一、集合与区间 三、函数的几种特性 四、反函数 五、复合函数、 二、函数概念 第一章 初等函数 1. 集合的概念 定义 集合中的每个事物称为该集合的元素. 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 具有某种特定性质的事物所组成的总体称为集合. 一、集合与区间 若集合A的每一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集， 定义 记作 或 表示A是B的真子集. 如果集合A与集合B互为子集, 即 且 就称A与B相等.记作 B A (1) 列举法： 例： 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 按某种方式列出集合中的全体元素. 注 设 M 为数集 ,则 表示M中排除了 0 的集 ; 表示M中排除了 0 与负数的集 . 2.集合的表示法 例 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 常用集合记号: R: 实数集合; N: 自然数集合; Z: 整数集合; Q: 有理数集合; C: 复数集合. (1)区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 实数集 实数集 即 即 3. 区间和邻域 无穷区间: 半开区间： 以上这些区间统称为有限区间. (2)点a的 ? 邻域: 其中点 a 称为邻域的中心 , ? 称为邻域的半径 . 点a的去心 ? 邻域: 点a的左 ? 邻域 : 点a的右 ?