1.8-9 函数的连续性.pdf

第八-九节 第一章 函数与极限 函数的连续性 主要内容 一、函数连续性的定义 二、函数的间断点 三、连续函数的运算法则 四、初等函数的连续性 暨南大学电气信息学院苏保河主讲 0、增量(改变量) 定义0 设变量u 由初值u 变到终值u , 终值与初值之 1 2 差u - u 称为u 的增量, 记为Δu , 即增量Δu u −u . 2 1 2 1 例0 设有函数y f (x ) , 如果自变量x 由初值x0 变到 终值x0 +Δx , 则自变量x 的增量为Δx , 函数y 的增量为 Δy f (x 0 +Δx ) −f (x 0 ) . y y f (x) Δy 记 x 0 +Δx x Δx o x0 x x 暨南大学电气信息学院苏保河主讲 一、函数连续性的定义 定义1 设函数y f (x ) 在x 0 的某邻域内有定义, 且 lim f (x ) f (x 0 ) , 则称函数f (x ) 在x 0 连续. x →x 0 f (x ) 在点x 0 连续必须具备下列条件: (1) f (x )在点x 0 有定义, 即f (x 0 ) 存在; (2) 极限 lim f (x ) 存在; x →x 0 (3) lim f (x ) f (x 0 ) . x →x 0 暨南大学电气信息学院苏保河主讲 例1. 证明 f (x ) x 2 在x 0 连续. 证. Q lim f (x ) lim x 2 x 2 f (x ) , 0 0 x →x 0 x →x 0 ∴f (x ) x 2 在x 0 连续. 暨南大学电气信息学院苏保河主讲 对自变量的增量Δx x −x 0 , 有函数的增量 Δy f (x ) −f (x 0 ) f (x 0 +Δx ) −f (x 0 ) 由此可知函数f (x ) 在点x 0 连续有下列等价命题: lim f (x ) f (x 0 )