10-7_1_傅里叶级数.ppt

第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 定理 1. 组成三角级数的函数系 二、傅里叶系数，傅里叶级数 例1. 说明: 例2. 例3. 设 例4. 将周期函数 小结: 思考题. 傅里叶 (1768 – 1830) 狄利克雷 (18 05 – 1859) * 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、傅里叶系数，傅里叶级数 三、傅里叶级数的收敛定理 第十章 傅里叶级数 四、定义在有限区间上的函数展成傅里叶级数 五、以2l为周期的函数的傅里叶级数 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, 为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, ① ② 对①在 逐项积分, 得 (利用正交性) 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; 由公式 ② 确定的 ① ② 以 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 三、傅里叶级数的收敛定理 定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2?的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 x 为连续点 其中 为 f (x) 的 傅里叶系数 . 书p236/th10-23 注意: 函数展成傅里叶级数的条件 比展成幂级数的条件低得多. 这正是傅立叶级数具有广泛应用的重要原因 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 上的表达式为 解: 先求傅里叶系数 将 f (x) 展成傅里叶级数. 1) 根据收敛定理可知, 时,级数收敛于 2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图. 上的表达式为 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 说明: 当 时, 级数收敛于 正弦级数和余弦级数 周期为2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2? 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 周期为2?的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 , 它的傅里叶系数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为 书p237 的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数. 是周期为2? 的周期函数,它在 解: 若不计 周期为 2? 的奇函数, 因此 n＝1 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: 级数的部分和 n＝2 n＝3 n＝4 逼近 f (x) 的情况见右图. n＝5 展成傅里叶级数, 其 中E 为正常数 . 解: 是周期为2? 的 周期偶函数 , 因此 1. 周期为 2? 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意: 若 为间断点, 则级数收敛于 2. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 处收敛于 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 . 提示: 设周期函数在一个周期内的表达式为 , 法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. * *