13两道陈省身杯数学奥林匹克题的命题思路.pdf

2014年第 1O期 13 两道陈省身杯数学奥林匹克题的命题思路 李 宝毅 彭 广 阳 (1．天津师范大学数学科学学院，300387 2．天津市第四十七中学，300400) 中图分类号：O156．1 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2014)10—0013—03 将高等数学中定理的结论特殊化、初等化是 同理，+l1= +6+8=10(k+2)+a一1， 高中数学竞赛命题中一种较为常见的方法，例如， +12= +ll+2=10(k+2)+a+1． 题 1 对任意的a∈{0，1，…，9}，证明：集合 而 11 ∈(19，20)，即 X={[n ]ln∈Z+}中有无穷多个元素，其个 +l1=[n,／3+11√3] 位数字为a，其中，[]表示不超过实数 的最大 = [n√]+19(或[ ]+20) 整数．[] = lO(k+20)+a(或 10(k+20)十a+1)， (第四届陈省身杯全国高中数学奥林匹克) 矛盾． 事实上 ，本题来源于高等数学中的一个定理： 故假设不成立． 若 为无理数，则数列 { ={not}In∈Z+} 综上，集合X={[n ]ln∈Z+}中有无穷 在区间[0，1)内均匀分布． ． 多个元素，其个位数字为a． 若将题 目中的 改为 ，用类似的方法可以 若将题 目中的 改为兀，且将结论加强为集 证明结论仍然成立． 合X={[凡7c]In∈Z+}中有无穷多个元素，其后 记 =[n ]．显然， 四位数字恰为2013，则利用上述方法解题的难度 + = [，z + ] 直线上升．[脯]的后四位数字恰为20l3等价于 = [n ]+1(或[n ]+2) { )∈(0．2o13,0．2014)，命题显然成立． = +1(或 +2)． 推广和改造成题是高中数学竞赛命题中的另 假设集合 中只有有限个元素，其个位数字 一 种常见方法． 为a． 接下来讨论一道简单题． 则存在 ∈z+，使得当n≥ 时， 题2 十个盒子排成一圈，从某个盒子开始， = [n ] 顺时针依次放人 1，2，…，10粒弹珠．按照以下规 的个位数字不为a． 律操作：要么在相邻的两个盒子里分别加一粒弹 又 川 一 =1或2并结合 lim口=+ao，得 珠，要么从相邻的两个盒子里分别拿走一粒弹珠． 存在n≥ ，使得 问：是否有可能通过有限次操作，使每个盒子里均 = 10k+a+1(k∈Z+)