14 导数在函数中的应用——单调性.doc

第0215课时 导数在函数中的应用——单调性 【基础再现】 1. 函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调区间为__________________． 答案：(－2，－1)2. 函数y＝＋2ln x的单调递减区间为_________________________． 答案：3. f(x)＝x＋在(0，＋∞)上是单调增函数，则a的取值范围是__________． 答案：(－∞，0]4. 若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调递增函数，则实数m的取值范围是 . 答案：5. 二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f ′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y＝f(x)图象的顶点在第 象限． 答案：一 意图：由导函数图像推断原函数具有的性质，主要考虑单调性和极值等因素. 【典型例题】 例1．f(x)＝x3x2－x＋1f(x)＝x－2lnx． 答案：（1）单调增：（－∞，－），（1，＋∞） 单调减：（－，1） （2）单调增：（1，＋∞） 单调减：（0，1） 例2.（1）已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是________． （2）若函数f(x)＝x3－mx2＋4的一个减区间为(0，2)，则实数m的取值是________． （3）若函数f(x)＝x3－mx2＋4在(0，2)上是减函数，则实数m的取值范围是________． ≤－3 （2）3 （3）m≥3 例3f(x)＝x＋－(a－1)lnx，≤0时，（0，＋∞）上单调增； a＞0时，（0，a）上单调减，（a，＋∞）上单调增． 变式：已知函数f(x)＝x2－(a＋m)x＋aln x，且f′(1)＝0，其中a、mR. 求m的值； 求函数f(x)的单调增区间． 解：(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝x－(a＋m)＋. 由f′(1)＝0得1－(a＋m)＋a＝0，解得m＝1. (2)由(1)得f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝. 当a＞1时，由f′(x)＞0，得x＞a或0＜x＜1， 此时f(x)的单调增区间为(a，＋∞)或(0,1)． 当a＝1时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． 当0＜a＜1时，由f′(x)＞0，得x＞1或0＜x＜a. 此时f(x)的单调增区间为(1，＋∞)(0，a)． 当a≤0时，由f′(x)＞0，得x＞1， 此时f(x)的单调增区间为(1，＋∞)． 综上，当a＞1时，f(x)的单调增区间为(a，＋∞)(0,1)； 当a＝1时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)； 当0＜a＜1时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)(0，a)； 当a≤0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)． 【课后强化】 1．函数f(x)＝x－15x2－33x＋6的单调减区间为 ． 2．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是 . 3．函数f(x)＝x－ax在区间(－,0)上单调递减，则a的取值范围为 ． 4．函数f(x)＝－x＋bx有三个单调区间，则b的取值范围为 . 5．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a)＞0，则实数a的取值范围为 . 6．设R上可导的函数f(x)满足(x2－1)f ′(x)＞0，则函数f(x)的增区间是 . 7已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________． 8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，＞0(x＞0)，则不等式xf(x)＞0的解集是 . 9．设函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)． 若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式g(x)的单调区间． 10．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 11. 已知函数f(x)＝x3－ax－1 （1）是否存在a使f(x)的单调减区间是（－1，1）； （2）是否存在a使f(x)在（－1，1）单调递减； （3）若f(x)在R上增函数，求a. 答案： 1. (－1，11) 2. (－π，－)和(0，) 3. a≥． 4. 解： 因为函数有三个单调区间， 所以＝0有两个不等的实数根，则即b0。 5. 6. 7. 3k27 8. 解析：由导数的运算法则可知，所以记则 在上为增函数且