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2006 年第 3 期 33 再品佳题 1996 圣彼得堡数学奥林匹克(初中) 苏 　淳 　　译 ( 中国科学技术大学统计与金融系,230026) 数的和是 15. 试求该数被 18 除的余数. 第 一 轮 8. 1. 同7 . 1. 6. 1. 试在 5 ×5 方格表的每一个方格中 8. 2. 某两个正整数的最小公倍数是它们 填入一个加号或减号 ,使得每个 3 ×3 正方形 的最大公约数的 16 倍. 证明 :这两个正整数 中 ,都刚好有 8 个减号. 中的一个能被另一个整除. 6. 2. 在 2 ×2 方格表中填有 4 个正整数 , 8. 3. 在四边形 ABCD 中, 点 E 、F 、G 分 其中每两个同列的数之差为 6 ,而每两个同 别是边AB 、BC 、AD 的中点. 现知 GE ⊥AB , ( GF ⊥BC , ∠ABC = 96°. 试求 ∠ACD 的度数. 行的数相差 1 倍 即其中一个数是另一个数 ) 8. 4. 试问 :如下两类十位数中 ,哪一类数 的 2 倍 . 试问 : 该方格表中都填了哪些数 ? 能否有不同的数组 ? 的和较大:第一类数的表达式中含有相邻排 6. 3. 沿着河岸生长着八种植物 ,相邻两 列的数字 1 和 2 ; 第二类数的表达式中含有 种植物上所结的浆果数目相差 1 个. 试问 :八 相邻排列的数字 2 和 1 ? 说明理由. 种植物上能否一共结有 225 个浆果 ? 说明理 第 二 轮 由. 6. 4. 一个五位数是 54 的倍数 ,并且它的 6. 1. 100 个船员把一些装有货物的大箱 各位数字都不为 0 . 删去它的一位数字后所 子搬运上岸 ,每只箱子要 7 个人抬. 船长认 得的四位数仍然是 54 的倍数;再删去该四位 为 ,由于每个船员都参与搬运了 65 只箱子 , 数的一位数字后所得的三位数还是 54 的倍 因此 ,每个船员的劳动量相同. 证明 :船长的 数 ;再删去该三位数的一位数字后所得的两 计算有误. 位数还是 54 的倍数. 试求原来的五位数. 6. 2. 上校 、少校、大尉和列兵琼京站成一 7. 1. 证明 :任何一个正整数都可以写成 列. 他们的身高各不相同 ,但是琼京与少校的 一个完全平方数与一个完全立方数的商的形 身高之和刚好等于上校与大尉的身高之和. 式. 若将上校与第二高的人交换位置 ,再让大尉 7. 2. 三个( ) 与最矮的人交换位置 ,那么 ,他们 4 人刚好是 不一定各不相同 正整数的和 等于 100. 将它们两两相减 ( 大的减去小的) 按照从矮到高的顺序排列. 试问 :开始时 ,少 可得三个差数. 则这三个差数的和的最大可 校与大尉两人谁在谁的前面 ? 能值为多少 ?