1_3映射与函数.ppt

第三节 一、 映射的概念 引例2. 定义1.3 例1. 说明: 2. 逆映射与复合映射 (2) 复合映射 定义. 二、函数的概念及其运算 例4. 已知函数 2. 反函数与复合函数 例5. 求 (2) 复合函数 三、函数的几种特性 (3) 奇偶性 又如, (4) 周期性 内容小结 * 第一章 二、函数的概念及其运算 三、函数的几种特性 一、映射的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1. 1. 映射 引例3. (点集) (点集) 向 y 轴投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射 若 , 则称 f 为满射; 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 引例2, 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2 引例2 海伦公式 例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射) 例3. 如图所示, 则有 (满射) (满射) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠ ? ) Y (数集) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f 称为X 上的泛函 X (≠ ? ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数 映射又称为算子. 名称. 例如, (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 为单射, 则存在一新映射 使 习惯上 , 的逆映射记成 例如, 映射 其逆映射为 其中 称此映射 为 f 的逆映射 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒 D 引例. 复合映射 则当 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 设有映射链 记作 合映射 , 时, 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形. 定义域 1. 函数的概念 定义1.4 设数集 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 f ( D ) 称为值域 函数图形: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 例如, 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 及 解: 函数无定义 并写出定义域及值域 . 定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射 为 f 的反函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数 (减) (减) . 1) y＝f (x) 单调递增 且也单调递增 性质: 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数 的反函数及其定义域. 解: 当 时, 则 当 时, 则 当 时, 则 反函数 定义域为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束 — 复合映射的特例 ② u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 : 函数 但函数链 不能构成复合函数 . 可