2.5 无穷小比较.ppt

内容小结 * 无穷小的比较 无穷小的比较 等价无穷小性质 1 无穷小的比较 由无穷小的性质可知 , 两个无穷小的和、差、积 仍为无穷小 , 但两个无穷小的商会出现不同的情况 。 如当 0 ? x 时 , 函数 x 2 , x sin 都是无穷小。 但是 0 = ￥ = 2 1 = 而 0 sin ? x 与 0 2 ? x 的 “快”、 “慢”差不多。 (3) 2 sin x x 比 0 2 ? x “快些” , 事实上 反之 “慢些” 0 2 ? x 比 由此可见 , 无穷小虽然都是以 0 为 极限的变量, 但它们趋向 0 的速度不一样 , 趋向 0 的 “快”、 “慢”程度 , 我们引 入无穷小的 “阶”的概念。 下面仅给出 0 x x ? 时的无穷小比较的定义, 对于 + ? 0 x x , - ? 0 x x , ￥ ? x , +￥ ? x -￥ ? x 等情况的无穷小比较的定义可类似。 为了 反映无穷小 定义 设 0 ) ( lim 0 = ? x x x a 0 ) ( lim 0 = ? x x x b 0 ) ( ) ( lim 0 = ? x x x x a b （ 1 ）如果 , 则称 ) ( x b 是比 ) ( x a 高阶 的无穷小 , 记为 )) ( ( ) ( x o x a b = （ 2 ）如果 ￥ = ? ) ( ) ( lim 0 x x x x a b , 则称 ) ( x b 是比 ) ( x a 低阶 的无穷小。 ) 1 , 0 ( 1 （ 3 ）如果 ) ( ) ( lim 0 = ? C x x x x a b 则称 ) ( x b 与 ) ( x a 是 同阶 无穷小。 （ 4 ）如果 1 ) ( ) ( lim 0 = ? x x x x a b 则称 ) ( x b 与 ) ( x a 为 等价 无穷小 , 记为 ) ( ~ ) ( x x a b 例如 0 3 lim 3 0 = ? x x x Q ) 0 ( ? x ) 3 ( 3 = \ x o x 1 sin lim 0 = ? x x x Q ) 0 ( ? x ~ sin \ x x 1 - \ x 与 1 2 - x 同阶无穷小 ) 1 ( ? x ) 0 ( ? x 可以证明 : 当 0 ? x 时 , 有下列等价无穷小： x ~ x sin x ~ x tan x ~ e x 1 - x ~ x ) 1 ln( + 2 ~ 2 x cos 1 x - 利用等价无穷小可以简化某些极限的运算 , 有下面定理： 2 等价无穷小性质 一般地有 定理1 例如, ～ 证: 即 即 定理2 设当 0 x x ? 时 , ) ( ~ ) ( x x a a ￠ , ) ( ~ ) ( x x b b ￠ 且 ) ( ) ( lim 0 x x x x a b ￠ ￠ ? 存在 ( 或 ￥ ) , ) ( ) ( lim 0 x x x x a b ￠ ￠ = ? 则 ) ( ) ( lim 0 x x x x a b ? 证明 因 ) ( ) ( lim 0 x x x x a b ? ) ( ) ( lim 0 x x x x a b ￠ ￠ = ? ( 证毕 ) ) ( ) ( x x a a ￠ ) ( ) ( x x a b ￠ ￠ ) ( ) ( x x b b ￠ lim 0 x x = ? ) ( ) ( lim 0 x x x x a a ￠ ? ) ( ) ( lim 0 x x x x a b ￠ ￠ ? ) ( ) ( lim 0 x x x x b b ￠ = ? 2 3 lim 0 = ? x x x 例1 求 2 tan 3 sin lim 0 ? x x x 定理3(等价代法则) 设在某一极限过程中有 ,则有(极限存在) 例2 解 注意 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 等价关系具有：自反性，对称性，传递性 例3. 求 解: 例4 解 错 解 例5 解 例6 例7 已知当x→0时， 是等价无穷小，求a . 解 *