2.5分段低次插值法.ppt

华长生制作 * * 第二章 函数近似计算的插值法 2.5 分段低次插值法 2.5 分段低次插值法 一、高次插值的龙格(Runge)现象 (插值过程的收敛性问题) 问题: 所构造的插值多项式 作为 近似函数,是否 的次数愈高,逼近 的效果 愈好,即 利用高次插值多项式的危险性,在20世纪初被Runge发现. 例子. 并作图比较. 解: 不同次数的Lagrange插值多项式的比较图 Runge现象 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 f(x)=1/(1+x2) 在?-2,2?上L10(x)对f(x)逼近较好,但在端点附近很差.可以证明 即随着n的增长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高次代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪初由Runge发现. 这表明: 并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好, 精度也不一定是随次数的提高而升高. 结论: 不适宜在大范围使用高次代数插值. 解决办法: 分段低次插值;分段光滑插值; 若从舍入误差分析,知当n7时,舍入误差亦会增大. 可知, Runge现象是由f(x)的高阶导数无界所致. 分段低次插值 二、分段线性Lagrange插值 构造Lagrange线性插值 1. 分段线性插值的构造 --------(1) --------(2) 显然,当 时 或者通过分段插值基函数 的线性组合来 表示 : 其中 且 也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果 因此 则 由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为 2. 分段线性插值的误差估计 定理 三、分段三次Hermite插值 可构造两点三次Hermite插值多项式 其中 我们称 为分段三次Hermite插值多项式，其余项为 例2. 比较几种插值. 我们分别用分段二次、三次Lagrange插值和 分段两点三次Hermite插值作比较 解: 即 * * * *