2.5 方向导数与梯度.ppt

2. 函数 在点 处的梯度 解: 则 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 3. 函数 提示: 则 * * 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 * 第五节 一、 方向导数 二 、梯度 方向导数与梯度 第二章 一、方向导数的定义 （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 或 推广可得三元函数方向导数的定义 解 解 由方向导数的计算公式知 故 例3. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 的方向导数 . 解: 向量 l 的方向余弦为 例4. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 例5. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 在点P 处沿 求函数 三、梯度的概念 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线（等值线） 梯度为等高线上的法向量 梯度与等高线的关系： 类似于二元函数，此梯度也是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 梯度的基本运算公式 解 由梯度计算公式得 故 内容小结 1. 方向导数 ? 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数为 ? 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 2. 梯度 ? 三元函数 在点 处的梯度为 ? 二元函数 在点 处的梯度为 3. 关系 方向导数存在 偏导数存在 ? ? 可微 梯度在方向 l 上的投影. 思考题 思考题解答 1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 ? . 曲线 1. (1) 在点 解 函数沿 l 的方向导数 M (1,1,1) 处切线的方向向量 * * 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 *