2.线性空间02.ppt

第三节 线性空间的定义与性质 一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的子空间 第四节 维数、基、坐标 一、线性空间的基与维数 二、元素在给定基下的坐标 三、线性空间的同构 * * 　　线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 　　线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 定义 数域:关于加减乘除运算封闭的集合。 例如，有理数域、实数域、复数域等。 命题：任意数域必包含有理数域。 　　若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 定义１ 设 是一个非空集合， 为数域．如果 对于任意两个元素 　，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）． 　　（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 线性空间的判定方法 例 1 是 一个线性空间。 1807年，法国科学家傅立叶在研究热传导问题中 得到任意函数可以表示为三角函数的无穷级数，虽然他没有提供严格的数学论证，但此后的发展却成为极有影响力的数学分支，广泛地应用于理论及应用领域。 　　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． 例４ 正弦函数的集合 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． 是一个线性空间. 例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间． 例６ 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 　　（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 证明 所以对定义的加法与乘数运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律： 所以 对所定义的运算构成线性空间． 1．零元素是唯一的． 证明 　　　　　假设 是线性空间V中的两个零元 素， 由于 所以 则对任何 ， 有 2．负元素是唯一的． 证明 假设 有两个负元素 与 ， 那么 则有 向量 的负元素记为 证明 4．如果 ，则 或 . 证明 假设 那么 又 同理可证：若 则有 定义2　设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间． 定理　线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： 对于 中的线性运算封闭． 定义１ 在线性空间 中，如果存在 个元素 满足： 　　当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的． 定义２ 注意 　　　线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．