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维普资讯 26 中等 数 学 2005年IMO中国国家集训队选拔考试 六、设 是给定的正实数．求所有的函 第一天 数厂：N+一R，使得对任意满足条件 一 、 设o0的内接凸四边形ABCD的两 am≤k(口+1)m 条对角线AC、BD的交点为P，过 P、B两点 的正整数k、m，都有 的o0。与过P、A两点的o0：相交于两点 f(k+m)= k)+厂(m)． P、Q，且o0、630分别与o0相交于另一 (陈永高 供题) 点E、．求证：直线 即 、CE、DF共点或者互 相平行． (冷岗松 供题) 参考答案 二、给定正整数 凡(凡≥2)，求最大的 ， 一 、 如图 1． 使得：若有 几个袋子，每一个袋子中都是一 些重量为2的整数次幂克的小球，且各个袋 子中的小球的总重量都相等，则必有某一重 量的小球的总个数至少为 ．(同一个袋子中 可以有相等重量的小球．) (王建伟 供题) 三、It是正整数，at(=1，2，…，凡)为复 数，且对集合{1，2，…，凡}的任一非空子集 ，， 均有 图 1 ． IⅡ(1+at)一1I≤ ． ∈， - ． 因为 ： F： CAF= CDF， 证明： JatJ≤3． (朱华伟 供题) ． PffCD 同理，，P∥CD． 第二天 故，、P、J三点共线． 又 EFD=18 一 ECD=18 一 EIJ， 四、设 口l，口2，…，口6；bI，b2，…，b6；cl， 故E、，、．，、，四点共圆． 这样，由根轴定理，知四边形 IEFJ的外接圆、 c：，…，c都是1，2，…，6的排列．求∑aibc【』 ④0．、o0两两的公共弦膪、PQ、 共点或者互 的最小值． (熊 斌 供题) 相平行，即直线 、CE、DF共点或者互相平行． 五、设凡是任意给定的正整数，是正实 二、不妨设最重的小球重量为1．先证： 数．证明： 一 ≥ [号】 窖( +1)【】) 设每个袋子中小球的总重量为G,~sJG≥1． ． 其中[口]表示不超过实数 口的最大整数． 假设任一重量的小球的总个数都小于或等于 (余红兵 供题) [号】．考察这n个袋子中所有小球的总重量，得 维普资讯 2OO5年第6期 ≤【,／／】．(】。 +．．)· ≤Ir一1I+~／(c0s0—1)+si0 = Ir一1I+~／2(1一c0s0) II 一 一