2006年天津市大学生高等数学竞赛试题及答案.pdf

2006 2006 天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 15 3 15 3 一、填空：（本题1155分，每空33分。请将最终结果填在相应的横线上面。） ⎧1 −esinx ⎪ x ,x 0, 1．若 ( ) arctan 是(−∞,+∞)上的连续函数，则a= －1 。 f x = ⎨ 2 ⎪ 2 x ⎩ae −1,x≤ 0, ⎡π ⎤ 2π 2．函数y= x+ 2sinx在区间⎢2 ,π⎥上的最大值为 3 + 3 。 ⎣ ⎦ 2 3． ( ) − x 2 −6e−2 。 ∫−2 x + xe dx= ⎧ 2 2 3x + 2y =12 4．由曲线⎨ 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0, 3 , 2 )处的指向外侧的单位法向 ⎩z= 0 量为 1 { } 。 0, 2 , 3 5 1 +(x-1)e z−y−x 5．设函数z= z(x,y)由方程z− y− x+ xe z−y−x = 2 所确定，则dz= dx+ dy 。 1 + xe z−y−x 15 3 15 3 二、选择题：（本题1155分，每小题33分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确 选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） ′ A A 1． 设函数f(x)可导，并且 f (x )= 5 ，则当∆x→ 0 时，该函数在点x 处微分dy是∆y的（ AA ） 0 0 A B A B （AA）等价无穷小； （BB）同阶但不等价的无穷小； C D C D （CC）高阶无穷小； （DD）低阶无穷小。