20080630夯实基础,提高数学运算能力.doc

夯实基础，提高数学运算能力 上海市嘉定一中 201808 徐泼 数学离不开运算。《上海卷考试手册》给出考试目标：考查考生的数学基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想像能力、分析问题与解决问题的能力以及数学探究与创新能力。运算能力是一项数学基本能力。运算如同地基，没有正确、细致、严谨的演算、推算过程，再完美的思想方法也就如同空中楼阁，失去其应有的灿烂光辉。提高学生的运算水平也就成为夯实基础工作中的重点之一。在教学中发现大量的数学解题障碍归咎于运算。提高运算能力可以从以下几方面进行尝试： 1 根据运算法则进行准确运算 运算准确的前提是不能错记公式、性质或法则，否则一切都将是徒劳。要求学生必须正确地、熟练地记忆公式、性质或法则，这样才能保障运算的顺利进行。 例如，高一初次学习对数，总会有学生将对数的运算性质 与产生混淆。教师在请学生熟记公式的同时，除了要求学生明确是对任意的正数都成立外，还可以指出虽然不是对任意的正数都成立，它对某些特定的正数也是可以成立的。 例1：（2008年上海市闸北区高考模拟卷） 请写出方程的一组解为：________ ________ 简析：解法一，取，则通过解，可得 解法二，令，通过解，可取 2 理解思想方法的本质，明确运算目的 有时候学生对于有的题会感到无所适从，尤其是遇到一些有关抽象函数与抽象曲线方程的题。但是只要我们能够对一些解题的思想方法领悟透彻、抓住本质、明确目的，还是能够迎刃而解的。 例2：已知是定义在实数集R上的函数，它的反函数为，若与互为反函数，且（为非零常数），则的值为（ ） A． B． C．0 D． 简析：明确求反函数的一般步骤： 1、变形（将原函数变形为用函数字母来表示自变量字母的式子），俗称解出； 2、互换（将变形后的反函数字母与自变量字母互换），俗称互换位置； 3、写定义域（求出原函数的值域即为反函数的定义域）。 此题可先求出的反函数。明确求此函数反函数的首要步骤就是通过解出。 所以，得；再互换位置，得。与为同一函数。故，则，可知选C。 例3：(2008年上海市徐汇区高考模拟卷) 曲线关于直线的对称的曲线方程为_________ 简析：依求轨迹方程的常规思路：在所求的曲线上任取一点，然后结合已知条件找出满足的等量关系即可。此题中给出的曲线是抽象曲线，但这丝毫无碍于我们遵循常规思路。设是所求曲线上的任意一点，其关于直线的对称点为，设中点，又由于直线与直线垂直，得直线，再由中点坐标公式可得，由在曲线上，得即为所求。 可见，抽象函数与抽象曲线方程并不是像它们表面上那样似乎令我们无法捉摸得透，但只要我们把握解题思想方法的实质，还是能够从容应对的。 3 根据条件寻找简捷的运算途径，提高运算灵活性 例4：（2008年上海市普陀区高考模拟卷） 已知点的坐标分别是、，直线相交于点P，且它们的斜率之积为． （1）求证：点P的轨迹在一个椭圆上，并写出椭圆的方程； （2）设过原点的直线交（1）题中的椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率； （3）反思（2）题的解答，当的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线的斜率和所在直线的斜率之间的关系. 由此推广到点位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决。 简析：（1）易得椭圆方程为 （2）ⅰ.直线斜率不存在，则 ⅱ. 直线斜率存在，设：代入椭圆方程，得： ，可见实施分离系数，再对讨论。 当时， 当时，，运用基本不等式可得 综上所述，当且仅当时，的最大值为 （3） 推广一：已知椭圆，设点，过椭圆中心的直线与椭圆分别交于、两点，则当的面积取得最大值时，直线的斜率和直线的斜率之积为定值。 直线斜率不存在（略）；直线斜率存在，设：代入椭圆方程，得：。于是。这里如果用与第（2）小题同样的方法较为烦琐，调整解题方法，采用法运算更易。令，整理得关于的一元二次方程：。使，即可得，即的最大值为。此时，整理得，即得证。 推广二：已知椭圆，设点，过椭圆中心的直线与椭圆分别交于、两点，则当的面积取得最大值时，直线的斜率和直线的斜率之积为定值。 解决此问题可以调整解题思路，变换视角。不从点到直线的距离和弦的弦长公式出发来表示，而是将的面积看成是以线段为底边的和的面积之和。 由于点、与直线都是关于坐标原点中心对称的，故以线段为底边，和的高相等。设，直线方程为： 。 （其中）。故当，即时，取得最大值。此时，即得证。 平时注意方法、经验的积累，包括技巧、思想方法的储备，如变量代换、分离系数、数形结合等，也