2011 学年第二学期期末考试试卷(A卷) - 华中师范大学数学与统计学.docx

华中师范大学 2010–2011学年第二学期期末考试试卷（A卷）答案课程名称微分几何课程编课教师周振荣、程亮、陈永发题型叙述计算证明应用总分分值25451515100得分得分评阅人一、叙述题：（共5题，每题5分，共25分）叙述高斯奇妙定理。答：高斯曲率是内蕴量。叙述曲面基本定理。答：给定两个二次型，其中正定。如果满足高斯方程和科达齐方程，则存在一张曲面以为第一基本形式，以为第二基本形式，并且这样的两张曲面通过运动可以重合。叙述曲面映射是等距的一个等价条件。答：保持内积。叙述高斯波涅公式。答：高斯曲率的积分、测地曲率在边界上的积分与边界的外角之和等于2π。叙述克氏符号的定义。答：。得分评阅人二、计算题：（共3题，每题15分，共 45分）院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------6．设曲线的参数表示为。计算它的曲率、挠率和三个基本向量。解：，，7．计算球面的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率。解：第1页(共3页)8．设曲面上的曲线，求测地挠率．解：直接计算得：所以-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------得分评阅人三、证明题：（共1题， 15分）9．设两曲面沿交线成定角，证明：如果交线是一张曲面的曲率线，则它也是另一张曲面的曲率线．证明交线成定角即法向量成定角，也就是．两边对弧长求导得．由于交线是第一张曲面的曲率线，由罗德里格定理，，所以，于是，这说明．另一方面，，所以，再由罗德里格定理可知交线是第二张曲面的曲率线．得分评阅人四、应用题：（共1题， 15分）10．应用高斯-波涅定理计算半径为的球面的面积。解：设赤道圆为C，则它是测地线，在其上球面的高斯曲率是设上半球面为A，由高斯-波涅定理有，因为常数，，其中是A的面积，所以为，球面的面积是第2页(共2页)