2011-12-线代3学分-期末复习.pdf

线性代数复习课 Zhangli Department of Mathematics Tongji University Outlines: Part Ⅰ: 行列式与矩阵 Part Ⅱ: 线性方程组的求解 Part Ⅲ: 线性相关性与无关性 Part Ⅳ: 矩阵的对角化 Part Ⅴ: 线性空间与线性变换 一. 行列式的定义 1. 低阶行列式的对角线法则 2. n阶行列式的定义 3. 特殊行列式：正(负)对角阵；上(下)三角阵；范德 蒙行列式(P18) 题型：已知用行列式表示的多项式，求其中某些 项的次数 二. 行列式的计算 1. 降阶法： (1) 利用行(列)初等变换化简 (2)行(列)和一致提公因式(P12 ，例8) (3)逐行相减（加）(P13 ，例9) (4)找递推公式(P15, 例11) (5)行列式展开(P18) 2. 利用性质分拆(常见于将A写成列分块的形式) 例3：已知三维列向量，，组成的三阶行列式为m， 求下述行列式的值： +，+， + ； ，2 +2，3 3 3 . 3. 利用公式|AB|=|A||B| 4. 利用特殊行列式或代数余子式 题型：关于代数余子式的计算(P21) * -1 1. 关于A 与A 的证明与计算 * *  AA A A | A | E  A* | A | A1  | A* | | A |n1 n 若R( A) n  *   R( A ) 1 若R(A) n 1  0 若R (A) n 2  * 1 1 *  (A ) (A ) * -1 题型：与A 或A 有关的行列式计算(P55, 14) 例5. 设A、B均为n阶方阵，| A | 2,| B | －3, * -1 则| 2A B | ____. 题型：已知A的特征值，求|(A) |. 2. 关于矩阵的运算 注意： 数乘；乘法的不可交换；乘法的不可消去； 连乘的转置；连乘的求逆；连乘的行列式 例6. 设A、B均为n阶方阵，AB 0,则必有____. (a)A 0或B 0， (b)A  B 0, (c) | A | 0或| B | 0, (d ) | A | | B | 0 3. 可逆阵的证明与判定（方阵）  定义AB=BA=E  |A|不为0  A 的全体特征值均不为0  A满秩  线性方程组Ax=b有唯一解  A 的列(行)向量组线性无关 4.