2010年高考数学试题精编：13.2导数的应用.doc

第十三章 导数 二 导数的利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．（一）选择题（共2题） 1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为()，则导函数的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。 2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 （A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 【答案】C 【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。 （二）解答题（共35题） 1.（安徽卷理17）设为实数，函数。 (Ⅰ)求的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当且时，。 2.（安徽卷文20）设函数，求函数的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值. 【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. 3.（北京卷理18）已知函数()=In(1+)-+(≥0)。 (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间。 解：（I）当时， 由于所以曲线处的切线方程为 。即 （II） 当时， 因此在区间上，；在区间上，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，得; 因此，在区间和上，；在区间上，； 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，.的递增区间为 当时，由，得； 因此，在区间和上，，在区间上，； 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。 4.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式； （Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。 5.（福建卷理20） （Ⅰ）已知函数，其图象记为曲线。 （ⅰ）求函数的单调区间； （ⅱ）证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。 【解析】（Ⅰ）（i）由得=， 当和时，； 当时，， 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。 （ii）曲线C与其在点处的切线方程为 得， 即，解得，进而有 ，用代替，重复上述计算过程，可得 和，又，所以 因此有。 （Ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点 ，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 证明如下： 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得 ，故。 6.（福建卷文22）已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为. （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）设是上的增函数. （ⅰ）求实数m的最大值； （ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 7.（广东卷文21）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）. （1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标； （2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求