2010年高考数学试题精编:13.2导数的应用.doc

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2010年高考数学试题精编:13.2导数的应用

第十三章 导数 二 导数的利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值. 考试要求(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.(一)选择题(共2题) 1.(江西卷理12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为(),则导函数的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除C;总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除B;考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择A。 2.(山东卷文8)已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 (A)13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 【答案】C 【解析】令导数,解得;令导数,解得,所以函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以在处取极大值,也是最大值,故选C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用,属基础题。 (二)解答题(共35题) 1.(安徽卷理17)设为实数,函数。 (Ⅰ)求的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当且时,。 2.(安徽卷文20)设函数,求函数的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】(1)对函数求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值. 【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为0得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点. 3.(北京卷理18)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。 (Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,(1))处的切线方程; (Ⅱ)求()的单调区间。 解:(I)当时, 由于所以曲线处的切线方程为 。即 (II) 当时, 因此在区间上,;在区间上,; 所以的单调递增区间为,单调递减区间为; 当时,,得; 因此,在区间和上,;在区间上,; 即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为; 当时,.的递增区间为 当时,由,得; 因此,在区间和上,,在区间上,; 即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为。 4.(北京卷文18)设定函数,且方程的两个根分别为1,4。 (Ⅰ)当a=3且曲线过原点时,求的解析式; (Ⅱ)若在无极值点,求a的取值范围。 5.(福建卷理20) (Ⅰ)已知函数,其图象记为曲线。 (ⅰ)求函数的单调区间; (ⅱ)证明:若对于任意非零实数,曲线与其在点处的切线交于另一点,曲线与其在点处的切线交于另一点,线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值; (Ⅱ)对于一般的三次函数,请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。 【解析】(Ⅰ)(i)由得=, 当和时,; 当时,, 因此,的单调递增区间为和,单调递减区间为。 (ii)曲线C与其在点处的切线方程为 得, 即,解得,进而有 ,用代替,重复上述计算过程,可得 和,又,所以 因此有。 (Ⅱ)记函数的图象为曲线,类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题为:若对任意不等式的实数,曲线与其在点处的切线交于另一点 ,曲线C与其在点处的切线交于另一点,线段 证明如下: 因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线的对称中心平移至坐标原点,因而不妨设,类似(i)(ii)的计算可得 ,故。 6.(福建卷文22)已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为. (Ⅰ)求实数a,b的值; (Ⅱ)设是上的增函数. (ⅰ)求实数m的最大值; (ⅱ)当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 7.(广东卷文21)已知曲线,点是曲线上的点(n=1,2,…). (1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标; (2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值,试求

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