2011.6.22函数导数专题稿.ppt

　　[点评] 本题中用到改变主元的技巧，化归为一次函数的最值问题，从而数形结合快速求得x的范围. 解: (1)由已知 f?(x)=3x2-x-2, (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 单调递增区间是 (-∞, - ) 和 (1, +∞). 2 3 令 f?(x)0 得 - x1; 2 3 令 f?(x)0 得 x- 或 x1. 2 3 ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- , 1); 2 3 2 3 令 f?(x)=0 得 x=- 或 1. 1 2 f(1)=3 , f(2)=7, ∵f(-1)=5 , 1 2 f(- )=5 , 2 3 27 22 ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7.　 ∴7m.　 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞). [例6] 典型例题 7 已知 a 为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f?(x); (2)若 f?(-1) =0, 求 f(x) 在 [-2, 2] 上的最大值和最小值; (3)若 f(x) 在 (-∞, -2]和 [2, +∞) 上都是递增的, 求 a 的取值范围. 解: (1)由已知 f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f?(x)=3x2-2ax-4. (2)由 f?(-1)=0 得, a= . 1 2 ∴f?(x)=3x2-x-4. 由 f?(x)=0 得, x=-1 或 . 4 3 ∵f(-2)=0, f(-1)= , f( )=- , f(2)=0, 9 2 4 3 27 50 ∴ f(x) 在 [-2, 2] 上的最大值为 , 最小值为 - . 9 2 27 50 (3)∵ f?(x) 的图象为开口向上的抛物线且过点 (0, -4), ∴由题设得 f?(-2)≥0 且 f?(2)≥0 . ∴8+4a≥0 且 8-4a≥0. ∴-2≤a≤2. 故 a 的取值范围是 [-2, 2]. 已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a?0) 是 R 上 的奇函数, 当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2. (1)求 f(x) 的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2?(-1, 1), 不等式 |f(x1)- f(x2)|4 恒成立. 典 型 例 题 8 (1)解:∵函数 f(x) 是 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即 -ax3-cx+d=-ax3-cx-d 对 x?R 恒成立. ∴d=0. ∴f(x)=ax3+cx, f?(x)=3ax2+c. ∵当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2, ∴f(1)=-2 且 f?(1)=0. ∴a+c=-2 且 3a+c=0. ∴a=1, c=-3. ∴f?(x)=3x2-3. 由 f?(x)0 得 -1x1; 由 f?(x)0 得 x-1 或 x1. ∴f(x) 在 (-∞, -1) 上是增函数, 在 (-1, 1) 上是减函数, 在 (1, +∞) 上是增函数. ∴当 x=-1 时, f(x) 取得极大值 f(-1)=2. 故函数 f(x) 的单调递减区间是 (-1, 1), 单调递增区间是 (-∞, -1) 和(1, +∞); f(x) 的极大值为 2. (2)证: 由 (1) 知 f(x)=x3-3x 在 [-1, 1] 上是 减函数, 且 f(x) 在 [-1, 1] 上的最大值 M=f(-1)=2, f(x) 在 [-1, 1] 上的最小值 m=f(1)=-2, ∴对任意x1, x2?(-1, 1), 不等式 |f(x1) – f(x2)|4 恒成立. 已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 是 f(x) 的极值点, 求 f(x) 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 导数的应用举例 9　 解: (1)由已知 f?(x)=3x2-2ax-3. ∵f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函数, ∴在 [1, +∞) 上恒有 f?(x)≥0, 即 3x2-2ax-3≥0 在 [1, +∞) 上恒成立. 则必有 ≤1 且 f?(1)