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2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案详解 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1） 已知当x →0 时，函数f (x ) 3sin x −sin 3x 与cxk 是等价无穷小，则（ ） （A ）k 1,c 4 （B ）k 1,c =−4 （C ）k 3,c 4 （D ）k 3, c =−4 【答案】应选（C ） 【详解】由泰勒公式可得。 2 3 x f (x ) −2f (x ) （2 ） 已知f (x ) 在x 0 处可导，且f (0) 0 ，则lim 3 等于（ ） x →0 x （A ）−2f ′(0) （B ）−f ′(0) （C ）f ′(0) （D ）0 【答案】应选（B ） 【详解】根据导数在某点的定义求解。 （3 ） 函数f (x ) ln (x =−1)(x −2)(x −3) 的驻点个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】应选（C ） 1 【详解】令 ′ ，解得驻点x 2 =± f (x ) 0 3 （4 ） 微分方程 ′′ 2 λx −λx y −λ y e =+e (λ0) 的特解形式为（ ） （A ）a(eλx +e−λx ) （B ）ax(eλx +e−λx ) （C ）x (aeλx +be−λx ) （D ）x 2 (aeλx +be−λx ) 【答案】应选（C ） ±λ λx −λx 【详解】特征值为 ，非齐次项中e , e 分别与特征根相等，则特解可设为 x (aeλx +be−λx ) （5 ） 设 函 数 f (x ), g (x ) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) 0,g (0) 0 ， 且 f ′(0) g ′(0) 0 ，则函数z f (x )g (y ) 在点(0,0) 处取得极小值的一个充分条件 是（ ） 第 1 页 共 8 页 数学教研室 （A ）f ′′(0) 0,g ′′(0) 0 （B ）f ′′(0) 0,g ′′(0) 0 （C ）f ′′(0) 0,g ′′(0) 0 （D ）f ′′(0) 0,g ′′(0) 0 【答案】应选（A ） z f ′(x )g (y ) 0 ⎧x 【详解】根据 ， ⎨ ′ zy f (x )g (y ) 0 ⎩ ′′ ′′ ′ ′