2011年考研数学试题(数学一)答案解析.doc

2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案解析 一、选择题 1、【答案】【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由可知分别是的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知， ，，，故（3，0）是一拐点。 2、【答案】【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】无界，说明幂级数的收敛半径； 单调减少，，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径。 因此，幂级数的收敛半径，收敛区间为。又由于时幂级数收敛，时幂级数发散。可知收敛域为。 3、【答案】【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。 【解析】由知， ， 所以，， 要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需 ， 所以有 4、【答案】【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】时，，因此 ，故选（B） 5、【答案】【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（D） 6、【答案】【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又 ，所以线性相关，故或为极大无关组，故应选（D） 7、【答案】【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：； 。可知为概率密度，故选（）。 8、【答案】【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于 可知 故应选（B） 二、填空题 9、【答案】 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 【解析】 10、【答案】 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 由，得，故所求解为 11、【答案】 【考点分析】本题考查偏导数的计算。 【解析】。故。 12、【答案】 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。 【解析】曲线的参数方程为，其中从到。因此 13、【答案】 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出。 【解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为。 该二次型的矩阵为，可知，因此。 14、【答案】 【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。 【解析】：由于，由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。 由于服从，可知，则 。 三、解答题 15、【答案】 【考点分析】：本题考查极限的计算，属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。 【解析】： 16、【答案】 【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。 【解析】： 由于在处取得极值，可知。 故 17、【答案】时，方程只有一个实根 时，方程有两个实根 【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。 【解析】：令，则，， 当时，，在单调递减，故此时的图像与轴与只有一个交点，也即方程只有一个实根 时，在和上都有，所以在和是严格的单调递减，又，故的图像在和与轴均无交点 时，时，，在上单调增加，又知，在上只有一个实根，又或都有，在或都单调减，又，，所以在与轴无交点，在上与轴有一个交点 综上所述：时，方程只有一个实根 时，方程有两个实根 18、【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。 【解析】：（1）令，则原不等式可化为。 先证明： 令。由于，可知在上单调递增。又由于，因此当时，。也即。 再证明： 令。由于，可知在上单调递增。由于，因此当时，。也即。 因此，我们证明了。再令由于，即可得到所需证明的不等式。 （2），由不等式可知：数列单调递减。 又由不等式可知： 。 因此数列是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列收敛。 19、【答案】： 【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用