2011数学竞赛答案.doc

数学竞赛 试题 班级 姓名 学号 第 1 页 北京石油化工学院第 十 届数学竞赛试题 题目 一 二 三 四 五 六 总分数 分数 评卷人 一、填空题：（每空4分，共40分） 1、 ； 2、数列极限= ； 3、已知,且，则； 4、反常积分 ； 5、设连续，则 ； 6、不定积分 ； 7、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 ；. 8、设函数可微，且，则在点处的 全微分 ； 9、交换积分次序= ； 10、曲面平行于平面的切平面方程是. 二、（每题10分,共20分） (1) 证明：当时，. 证明：令，则 所以在上单调递减。 又因为，所以当时，， 即 (2) 设且，求. 解： 而 所以 = 数学竞赛 试题 班级 姓名 学号 第 3 页 三、（每题10分,共20分） (1)设函数,由方程组确定,求. 解 两边同时对求偏导得 得,, 两边同时对求偏导得 得, (2)计算二重积分,其中. 解 设, 四、（每题10分,共20分） (1)求微分方程的通解. 解：令，则 则原方程化为 故， 通解为 (2)验证级数是否收敛？ 解：因为 所以 所以 故级数收敛 数学竞赛 试题 班级 姓名 学号 第 5 页 五,六题乙组做，丙组不做 五、（10分）计算其中： （1）为圆周的正向； （2）为椭圆的正向. 解 ，, (1) 在内有 有格林公式知 (2)在除中心外， 有 所以 其中为圆周顺时针, 所以. 六、（10分）计算曲面积分,其中为曲面的上侧. () 解 取为xoy平面上被椭圆所围部分的下测.记其中为和围成的空间闭曲域. 由高斯公式得， . 又 所以 4