2011年高考浙江卷理科数学第12题一题多解.pdf

每日一题[283] 千树万树梨花开 2015年10月29日 意琦行 数海拾贝 编者按    本人原作者为刘杨，编辑为意琦行，有大量补充和细节更 正． 2011年高考浙江卷理科数学第12题： 已知x, y ∈ R ，4x2 + y2 + xy = 1 ，则2x + y 的最大值为_______ ． 解    首先重新叙述问题： 1 已知x, y ∈ R ，x2 + y2 + xy = 1 ，求x + y 的最大值． 2 解决问题的核心在于如何处理掉交叉项 xy ，有以下不同的思路． 法一    利用均值不等式建立 xy 与 x + y 的联系 根据已知，有 1 1 = x2 + y2 + xy 2 3 = (x + y)2 − xy 2 2 ⩾ (x + y)2 − 3 ⋅ (x + y ) 2 2 5 2 = (x + y) , 8 于是 −− √−− x + y ⩽ √ 8 = 2 10 , 5 5 √−− √−− 10 2 10 等号当 x = y = 时取得，因此所求x + y 的最大值为 ． 5 5 法二    利用齐次特性创造运用均值不等式的条件 当xy = 0 时，x + y = ±1 ； 当xy ≠ 0 时，由于 2 x2 + y2 + 2xy (x + y) = 2 2 1 x + y + 2 xy 3 2 xy = 1 + 2 2 1 x + y + 2 xy 3 2