2012多元微分复习.ppt

导数与微分 解 解 13. 全微分形式不变性 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 隐函数的求导公式 ★14. 隐函数的求导法则 解 令 则 解 令 则 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念 一、主要内容 全微分 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 偏导数在 经济上的应用 多元函数的极值 全微分 概念 偏导数 概念 1.区域 （1）邻域 （3）n维空间 （2）区域 连通的开集称为区域或开区域． 2.多元函数概念 定义 ★二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. ★3.多元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 4.极限的运算 例 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 确定极限不存在的方法： ★ 5.多元函数的连续性 例 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． ★ 6.闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值． （2）最大值和最小值定理 （1）有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （3）介值定理 ★ 7.偏导数概念及运算 证 原结论成立． ★8. 高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ ★９. 偏导数在经济上的应用:交叉弹性 即 进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度. 及 亦称为 ★交叉弹性的经济意义 解: 10.全微分概念 ★多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 ★ 11.全微分的应用 主要方面:近似计算与误差估计. 解 由公式得 ★ 12. 复合函数求导法则 以上公式中的导数 称为全导数. * *