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2012届高三数学总复习讲义——向量 知识清单 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如等. ⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等. ⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=. 注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为. 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义 ①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1,y1),=(x1,y2) 则=(x1+x2,y1+y2) =（x2-x1,y2-y1） += 实数与向量的乘积 =λ λ∈R 记=(x,y) 则λ=(λx,λy) 两个向量的数量积 记 则·=x1x2+y1y2 (二)运算律 加法：①(交换律); ②(结合律) 实数与向量的乘积：①; ②;③ 两个向量的数量积: ①·=·; ②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+· 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(±)2= (三)运算性质及重要结论 ⑴平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。 ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的. 这说明如果且,那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量,则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)， 即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ0；当与异向时,λ0。|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 ⑷两个向量数量积的重要性质： ① 即 (求线段的长度); ②(垂直的判断); ③ (求角度)。 以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注:①两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ②叫做向量在方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积. ③如果,,则=, ∴,这就是平面内两点间的距离公式. 课前预习 1．在中，（ ） 2.平面内三点,若∥，则x的值为(　) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5 3. 设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： ①(·)(·)=0 ②||-|||| ③(·)(·)不与垂直 ④(3+2)·(32)=9||2- 4|2中， 真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 4. △OAB中,=,=,=