2012年8月9日几何讲义.pdf

2012 2012 高中数学竞赛平面几何辅导（西西辅导班） 例题1：已知A为圆O外一点，过A引圆O的割线交圆O于点B,C,且点B在线段AC内部，过点A引圆O的 AP AB 两条切线，切点分别为S,T,设AC与ST交于点P,证明： =2 (第21届北欧数学竞赛4） PC BC AB AC AB AB+ BC 因为点A关于圆O的极线为ST,所以，A,B,P,C是调和点列，则 = ⇒ = BP CP BC− PC PC ⇒ AB⋅PC= BC(AB+BC−PC)− AB⋅PC= BC⋅AP−AB⋅PC⇒2AB⋅PC =BC⋅AP AP AB ∴ = 2 PC BC 例题2： 已知△ABC的外心为O,P为OA延长线上一点，直线l与PB关于BA对称，直线h与PC关于AC对称 l与h交于点Q,若点P在OA的延长线上运动，求点Q的轨迹。（第38 届奥地利决赛试题） 解：设l与OA交与点R,OA与圆O的第二个交点为D,则∠ABD= 90.，所以AB,BD 分别是∠PBR的角平分线，外角平分线，所以P,A,R,D是调和点列。 类似的，h与OA的交点若为R,则P,A,R,D也是调和点列。∴R=R=Q 1 1 1 由于P是OA延长线上的动点，故Q的轨迹为线段OA内部的点 例题3： 如图：P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，若∠BPA= ∠DPA, 证明：∠AQB= ∠CQB.（2011年联赛试题） 此题是最早是1999 年土耳其竞赛题以及2007年新加坡国家队选拔试题参见： /Forum/viewtopic.php?t=6557 原题：设ABCD是圆内接四边形，圆心为0，对角线AC,BD中点分别为M,N,求证： AC平分∠BMD的充要条件是BD平分∠ANC. 证：连接NO,由于NB= DN,可知ON⊥BD,所以过B,D的切线交点S,必在ON延长线上 若BD平分∠ANC,根据调和点列性质知：A在直线SC上，所以A,B,C,D是调和四边形 设BD交过A,C的切线于T.因为AM = MC,因此AC⊥OT,所以AC平分∠BMD 证法2： 详解： 题 已知在 ∆ABC 中，∠BAC 的内角平分线与 BC 边的垂直平分线交于 P 点， ∠BAC 的外角平分线与 BC 边的垂直平分线交于 Q 点。 求证：P,Q 是 ∆ABC 的外接圆上的一对对径点。 ′ ′ ′ 证 作 ∆ABC 的外接圆，设 BC 边的垂直平分线与外接圆交于 P,Q 两点。连接 AP 和 ′ AQ 。 ′ ′ ′ ′ 因为 PQ 是外接圆的弦 BC 的垂直平分线，所以 PQ 是外接圆的直径，而且有 ∩ ∩ BP = PC 。′ ′ ∩ ∩ 因为 ∠BAP 是弧 BP 上的圆周角，′ ′ ∠PAC′ 是弧 PC′ 上的圆周角， 所以 ∠BAP = ∠PAC′ ′ ，可见 AP 是′ ∠BAC 的内角平分线。 因为 ′ ′ 是外接圆的直径，所以 ′ ′ ，即有 ′ ′ 。因为 AP 是′ PQ ∠QAP = 90° AQ ⊥ AP ∠BAC 的内角平分线，A