2012年10月13日学院考研第二章 导数与微分(上).ppt

1.分段函数在分界点处的求导问题 题型三：利用导数的定义求函数在某点的导数 以下情况必须用导数的定义求导数 例5 解 用定义 2.当不满足求导的条件时 例6 必须用定义 解 * * 第二章 导数与微分 基本内容 一、导数与微分的概念 1导数定义： 也记作 或 其它形式 也记作 或 当 时,为右导数 当 时,为左导数 2.左导数右导数 3.导函数的定义： 若函数 在区间I上每一点处都可导， 则任意点处的 导数，叫导函数. 导函数的定义 解 4.可导与连续的关系： 可导必连续， 连续不一定可导， 必不可导. 不连续 思考 注意： 二、求导的基本公式 三、求导法则 (其中 ) 1.函数和、差、积、商的求导法则 2.复合函数的求导法则 3.反函数的求导法则 注意： 使用求导法则的前提是“各自可导”. 四、高阶导数 1.定义： 如果函数 的导数 在点 处可导， 即 存在 则称 为函数 在点 处的二阶导数. 记作 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地， 称为零阶导数， 称为一阶导数. 一般地， 函数 的n-1阶导数的导数称为函数 的n阶导数. 2.高阶导数的计算： (C为常数) 直接法和间接法 (3)乘积 该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆 3.高阶导数的基本公式 五、几类特殊函数的导数 1.隐函数求导法 2.幂指函数的求导法 幂指函数的求导方法有两种： 若幂指函数为 方法1： 对数求导法， 两端对x求导： 直接求导法 变形为 然后用复合函数 求导法求导. 若幂指函数为 幂指函数的求导方法有两种： 方法1： 对数求导法， 两端对x求导： 方法2： 利用复合函数求导法 3.由参数方程所确定的导数 由复合函数及反函数的求导法则得 即 设函数 具有单调连续的 反函数 六、应用 1.几何应用 (1)几何意义： 是y=f(x)在点 处切线的斜率. (2)切线、法线的方程： 切线的方程： 法线的方程： 2.物理应用 瞬时速度： 瞬时加速度： 九、微分的概念 1.定义： 设函数 在某区间内有定义， 及 在这个区间内， 其中 是不依赖于 的常数， 是比 高阶的无穷小， 那么称函数 在点 是可微的， 自变量增量 的微分， 记作 或 即 (微分的实质) 而 叫做函数 在点 相应于 微分 叫做函数增量 的线性主部. 如果 可表示为： 由定义知:可微 2.可微的充要条件 函数 在点 可微的充要条件是： 函数 在点 处可导， 且 4.可导与可微的关系: 可微 可导 连续 有极限 3.微分的计算公式: 1)基本初等函数的微分公式 5. 微分运算公式与法则 1)微分的四则法则：设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 2) 微分法则 2) 复合函数的微分法则： 结论： 无论u是自变量还是中间变量， 形式总是 这种特性称为一阶微分形式的不变性 解 典型例题分析 题型一、已知导数求极限 原式= ？ 解 解 原式 = 例3. 例4. 解 题型二：已知极限求导数 *