2013年一道高考解析几何试题的探究与发现.pdf

2014年第2期 中学数学研究 ·3l· 将(D代入双曲线E的方程，由于点P(xo，90)在 限于篇幅，证明过程不再赘述．定直线为菇一)， 第一象限，解得y0=a2—1，‰=a2，即点P在定直 线菇一y=1上 ；√1182—62I，命题3是命题l的推广． 进而，笔者思考对一般的圆锥凿线还有类似第 命题4 (2)问的结论吗?经探究，答案是肯定的： 物线匿、的焦点，F，是抛物线E的准线与茗轴的交点， 命题2 P为抛物线E上第一象限内的点，直线瓦P交)，轴子 设椭圆E：!≥+告=l的焦点在菇轴 点Q，并且，1P上F。Q．证明：当p变化时，点P在某 上．F。，疋分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆占上 定直线上。 第一象限内的点，直线，2P交，，轴于点Q，并且F。P 上F。Q．证明：当a2+62为定值时，点P在某定直线 上． 题设知‰≠号，则直线EP的斜率．|}，l，=—』≮， 证明：设P(‰，殉)，F。(一c，O)，疋(c，0)，由题 耳。十i _ 设知‰≠c，则直线F，P的斜率．j}，IP 2磊瓮，则直线 则直线疋P的斜率j}，2P=—鱼)．．故直线兄P的方 疋P的斜率‰==芝_．敌直线RP的方程为Y= ‰一芎 ’ ’ 叁(铲c)．当一。帅=最，即点Q坐标为％一C c一‰ x=0 蜥=皇∽号)：Si对,y-芝， 互。一彳 彳一‰ C一‰ ‘’ 1“ C一聋。 (o，兰)．因此，直线EQ的斜率为j}，le=iYO ‰ 由于即上舶，所以‰“，I口=惫‘点 即点Q坐标为(o，i已一)·因此，直线F,Q的斜率 虿吖。 ：一1．化简得先=石：一c2①． 将①代入椭圆E的方程，由于点P(xo，％)在第 芎一％ √口‘+6‘ √d‘+6‘ 一象限，解得‰2了手；i②，％2了≥；铲， 由②③相加得。点P在直线菇+y=石2+62 ～ 七‘}_-1．化筒得元弛2一孚①-4。 刈号号一‰ 上．当a2+62为定值时，点P在某定直线上． 特别地，当62=1一口2时，即得以上高考题． 将①代入抛物线E的方程，由于点P(xo，Yo)在 类似地，还可以得到： 第一象限，解得茗。：生丢缉，％：√丽，即点P 命题