2014年数学(人教a版)必修5配套课件：2.2.2 等差数列的性质(数学备课大师网 为您整理).ppt

2．2.2 等差数列的性质 【学习目标】 1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式． 2．掌握等差数列的等差中项的概念，并能灵活运用． 1．等差中项 等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的_________， 即 2A＝__________或 A＝_________. a＋b 练习1：在等差数列{an}中，若 a3＝50，a5＝30，则a7＝____. 10 2．等差数列的性质 (1)an＝am＋( )d. n－m (2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则__________________． ak＋al＝am＋an (3) 若{an} 是等差数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则 ________________． am＋an＝2ak B 练习 3：(2014 年广东清远一模)如果在等差数列{an}中，有 a1＋a3＝6，那么 a2＝( ) B A．2 B．3 C．4 D．6 练习2：如果数列{an}是等差数列，则(　　) A．a1＋a8a4＋a5 B．a1＋a8＝a4＋a5 C．a1＋a8a4＋a5 D．a1a8＝a4a5 【问题探究】 若等差数列{an}的第 n 项与第 m 项分别为 an，am，请写出 公差 d 与这两项的关系式． 题型 1 等差中项的应用 【例 1】 已知 a，b，c 成等差数列，求证：b＋c，c＋a， a ＋b 也成等差数列． 三项成等差数列的问题往往借助等差中项 去证明，即 a，A，b 成等差数列?2A＝a＋b. 【变式与拓展】 1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1，2a＋3， ) 则此数列的通项 an 为( A．2n－5 C．2n－1 B．2n－3 D．2n＋1 2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为__________. 2n－3 B 题型 2 等差数列性质的基本应用 【例 2】 已知在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7 ＝45，求数列{an}的通项公式． 思维突破：可以考虑先利用等差数列的性质消元，再求解 方程组． 解：∵a5＋a6＋a7＝15， ∴3a6＝15，a6＝5. 当a5＝1，a7＝9时，d＝4. 通项公式an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×4＝4n－19； 当a5＝9，a7＝1时，d＝－4. 通项公式an＝9＋(n－5)×(－4)＝－4n＋29. 【变式与拓展】 3．(2013 年重庆)若 2，a，b，c，9 成等差数列，则 c－a＝ ______. 4．已知单调递增的等差数列{an}的前3项之和为21，前3项之积为231，求数列{an}的通项公式． 题型 3 等差数列性质的综合应用 【例3】 在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得4a13＝48.∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 【变式与拓展】 5．(2014 年河北邯郸二模改编)在等差数列{an}中，3(a3＋ a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则 a3＋a11＝( ) B A．6 B．4 C．8 D．12 6．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值． 解：∵a1＋a17＝a5＋a13， ∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234. 【例 4】 一梯子上窄下宽，最高一级宽 40 cm，最低一级 宽 80 cm，中间还有 9 级，各级的宽度构成等差数列，求中间 各级的宽度． 易错分析：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有 11 级， 40 cm 是第 1 级，80 cm 的是第 11 级． 解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝40，a11＝80，n＝11.由通项公式，得a11＝a1＋10d，即80＝40＋10d.解得d＝4. 因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64，a8＝68，a9＝72，a10＝76. [方法·规律·小结] 1．在做等差数列题时，注意利用结论：