2014年高考陕西卷理科压轴题的解法研究及赏析.pdf

· 解题方法 · 数学通讯一 2014年第9期 (下半月) 23 2014年高考陕西卷理科压轴题的解法研究及赏析 张锦川 (陕西师大附中，710061) 2014年陕西卷理科第 21题 ： 而 (≥0)， 设函数f(x)=In(1+ )，g(x)=Xf x)， 即此时结论也成立． ≥0，其Cf ()是f(x)的导函数． 由①②可知，结论对 ”∈N+成立，即g，()= (I)gt(z)：g(x)，g+1()=g(g，())，72 ∈N+，求 g ()的表达式； (≥0)· (Ⅱ)若厂()≥盘g()恒成立，求实数 口的取 (Ⅱ)解法 1 f(z)≥口g(x)恒成立∞ln(1+ 值范围； )≥ x-,jx~O恒成立． (Iti)设 ，2∈N+，比较g(1)+g(2)十…+g(72) 与 一f(72)的大小，并加以证明． 令 ()=ln(1+x)一 ax ，显然有 (0)=0， 这道试题沿袭了近年来陕西卷理科压轴题的设 ，，( )、 1 口 +1一n 而 一研 ’ 计模式，一题多问，层层递进，过渡 自然．既考查了函 当 口1时，对 ∈(0， —i)有 ()0， 数、导数、不等式等主干知识和函数与方程、数形结 合、转化与化归等数学思想，又引导学生用联系发展 ()单调递减，(z) (0)：0，ln(1+z)≥ 的眼光看问题，综合运用数学知识进行推理论证． 不恒成立． 一 、 解法研究 当n≤1时，对 ∈[0，+∞)有 ()≥0， (I)由已知可得，gl() g(z) (z≥ (z)单调递增，()≥(o)=0，ln(1+z)≥乏 恒成立 ． 0)，g2( g(g l+x j,27 (≥ 综上，实数 以的取值范围为(一∞，1]． 解法2 厂()≥＆g(z)恒成立筒ln(1+,73)≥ aze XCxO恒成立 ( 0时显然成立)铮 (1+z) 0)’ z㈦) j惫 ≥ 十 z 1n(1+z)≥ 对 0恒成立． 令 ()=(1+ )in(1 o)，…，猜想 ()再 (z≥0)· + )，由 ()=1+ln(1 下面用数学归纳法证明． 1 +z)0，(z)南 ①当竹 l时，gl() (z、0)，结论成