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2015北京大学考研数学之高等数学定理定义汇总 第一章 函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界; 如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在 定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn} 一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列 收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛 于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1， 1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个 发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限 与f(x)在点x0有没有定义无关。 p= 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A0(或A0)，就存在着点那 么x0 的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)0(或f(x)0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如 果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)， 而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准 则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a， 对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 专注中国名校保（考）研考博辅导权威 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0 的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0 时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称 函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、 虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不 连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一 类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任 何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应 的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都 是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如 果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值 和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理 (零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)0)，那 么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(aξ p= 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。 第二章 导数