2016新课标创新人教A版数学选修2-2 1.5 定积分的概念.doc

[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P38～P47的内容，回答下列问题． 观察教材图1.5－2，阴影部分是由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形． (1)通常称这样的平面图形为什么图形？ 提示：曲边梯形． (2)如何求出所给平面图形的面积近似值？ 提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． (3)如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 2．归纳总结，核心必记 (1)连续函数 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数． (2)曲边梯形的面积 ①曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． ②求曲边梯形面积的方法与步骤： (ⅰ)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； (ⅱ)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； (ⅲ)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； (ⅳ)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． (3)求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s. (4)定积分 ①定积分的概念 如果函数f(x)在某个区间[a，b]上连续，用分点a= 当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ab)f(x)dx， 其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． ②定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ab)f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ab)f(x)dx的几何意义． ③定积分的基本性质 (ⅰ)ab)kf(x)dx＝kab)f(x)dx(k为常数)； (ⅱ)ab)[f1(x)±f2(x)]dx＝ab)f1(x)dx±ab)f2(x)dx； (ⅲ)ab)f(x)dx＝ac)f(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b)． [问题思考] (1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？ 提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． (2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？ 提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小． (3)在“近似代替”中，如果取任意ξi∈\f(i－1in)处的函数值f(ξi)作为近似值，求出的S有变化吗？ 提示：没有变化． (4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？ 提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． (5)ab)f(x)dx是一个常数还是一个变量？ab)f(x)dx与积分变量有关系吗？ 提示：由定义可得定积分ab)f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即ab)f(x)dx＝ab)f(t)dt＝ab)f(u)du. (6)在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)0，ab)f(x)dx表示什么？ 提示：如果在区间[a，b]上，函数f(x)0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)， 由于Δxi0，f(ξi)0， 故f(ξi)·Δxi0，从而定积分ab)f(x)dx0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数， 即ab)f(x)dx＝－S或S＝－ab)f(x)dx. (7)024－x2dx的几何意义是什么？ 提示：是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即024－x2dx＝π. [课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)连续函数的定义是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么？