2017年江苏省高数复习资料第二单元 导数与微分.doc

第二单元 导数与微分 导 数 一、导数的概念 1、定义： 2、几何意义：过（x0,f(x0)）点的切线的斜率，即。 切线方程： 法线方程： 3、可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导。如y=︱x︱，在x=0处不可导。 4、左、右导数：（左导） （右导） 5、导数存在的充要条件： （分段函数必须用此讨论） 6、极限、连续、可导之间的关系：在x0处，可导→连续→极限存在，反之不真。 二、导数公式： 1.； 2. 3. 4. 6. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、导数的四则运算 设，都是可导的函数，则有： 和差法则: 乘法法则： 特别地，（c是常数）； 除法法则： 四、复合函数微分法 设函数在处有导数，函数在点的对应点处也有导数，则复合函数，在点处有导数，且 五、隐函数求导法 设 y = f(x)由方程F(x,y)=0所确定，求y / 时，将方程中的y看作中间变量，先对其求导，再对x求导，解出y /即可。 六、由参数方程确定的函数的求导法则 设y=y(x)由 所确定，φ(t) 、ψ(t)可导，且φ /(t)≠0，则有： 七、对数求导法 幂指函数的导数，可化成隐函数lny = vlnu,按隐函数求导法求其导数。 八、高阶导数 1、显函数：一阶一阶的往上求，直至满足要求。 2、隐函数： 3、参数方程所表示的函数：均是对t求微分） 或 微 分 一、概念： 二、微分与导数的关系：导数 微分 三、微分基本公式：（略，见导数基本公式） 四、微分的四则运算 （1） （2），特别地，（C为常数） （3） 五、复合函数的微分法则 设 则复合函数的微分为： 六、微分用于近似计算 例1 设f(x)在x = x0处可导，且f /(x0)= 2,求。 解： 例2 设y=f(x)满足，求f /(0)（求x0=0时的导数) 解： 所以 例3 设f(x)在x=2处可导，且f /(2)=1,求 （x0=2） 解： 例4 设f /(x0)=1,f(x0)=0,求 （化成分式，添项） 解： 例5 设y=f(x)在点x=1处可导，且求f(1)。 （利用可导与连续关系求函数值） 解： 因y=f(x)在点x=1处可导，可知f(x)在x=1处必连续，由定义知 例6 设f /(1)=1，求 （相应于区间[1，x]的增量） 解： 例7 设 解： 例8 设 解： 例9 求曲线y=1+sinx在点（0，1）处切线的斜率k。 解：y /=cosx，y /(0)=1，所以 k=1. 例10 设y=y(x)由方程cos(x+y)+y=1确定，求 解：等式两端同时求导得：－sin(x+y)(x+y) /+y /=0,即 －sin(x+y)(1+y /)+y /=0，解得 例11 求由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数y /。 解：等式两端同时求导得： 所以 例12 设函数，求y / (对数求导法) 解：等式两端同时取对数得：ln y = sinx lnx 两端关于x求导得： 所以 例13设函数y=y(x)由参数方程x=cost,y=sint-tcost确定，求y/，y//。 解： （参数方程的导数） 例14 设 解： 例15 讨论f(x)= 在x=0处的连续性与可导性。 解： 而f(0)=ln(1-0)=0,所以f(x)在x=0处连续。 由==1，可知，故f(x)在x=0处可导。 例16 设，其中f /(x)存在，求y /。 解： 例17 设 解： 所以 f//(-1)=0 例18 设 解： 例19 设，求y /. (先化简，再求导) 解：