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25正态分布题型
27正态分布(正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布)
【知识要点】
1.正态曲线
其中实数为参数,我们称的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线。
2.正态曲线性质:
曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
曲线是单峰的,它关于直线对称;
曲线在处达到峰值;
曲线与x轴之间的面积为1;
当一定时,曲线随着德变化而沿x轴平移;
当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散。 μ=E,σ=D。
3. 正态分布:一般地,如果对于任何实数,随机变量X满足
则称X的分布为正态分布,记作,如果随机变量X服从正态分布,则记为。
4.标准正态分布: 当μ=0、σ=l时,正态总体称为标准正态总体,
其相应的函数表示式是,(-∞<x<+∞)
,当时,;
而当时,Φ(0)=0.5
Φ(0)=0.5;Φ(1)=0.8413;Φ(2)=0.9772 ;Φ(3)=0.9987
5.转化为标准正态分布的方法:如果随机变量,,那么
6.两个重要公式:① ②
7.正态分布的原则:在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值,简称之为原则
题型一:正态分布概念与性质
1.设两个正态分布和的密度
函数图像如图所示。则有( )
A. B.
C.D.
2.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ和标准差σ
(1)
(2)
3.设的概率密度函数为,则下列结论错误的是( C )
(A) (B)
(C) 的渐近线是 (D) ~
4.随机变量,,那么相应的正态曲线f(x)在x= 时达到最高点。
其最大值是 ;落在区间里的概率是 。
5.工人制造机器零件,零件的尺寸服从分布,则不属于这个尺寸范围的零件约占总数的
6.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态
分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )
A.甲学科总体的方差最小
B.丙学科总体的均值最小
C.乙学科总体的方差及均值都居中
D.甲、乙、丙的总体的均值不相同
7.设,当在内取值的概率与在内取值的概率相等时, .
8.若随机变量,则在区间上的取值的概率等于在下列哪个区间上取值的概率
( )
9.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,δ2)(δ>0),若P(ξ<0)+P(ξ<1)=1,则μ的值为 ( )
A.-1B.1 C.D.
题型二:正态分布的计算问题
下图是正态分布N∽(0,1)的正态分布曲线图,下面4个式子中,
能表示图中阴影部分面积的有 个
① ② ③ ④
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.设随机变量服从正态分布,记,则下列结论不正确的是( D )
A B. C。D.
3.已知正态总体 ,(1)求取值小于3的概率;(2)求P(|x|≤3).(3)求P(-4≤x≤7)
解(1)
(2) P(-3≤x≤3)=F(3)-F(-3) =2F(3)-1=0.6826
(3)P(-4≤x≤7)
4.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),记φ(x)=p(ξx),给出下列结论:
①φ(0)=0.5;②φ(x)=1-φ(-x);③p (|ξ|2)=2φ(2)-1。
则正确结论的序号是___①②③__________
5.某学校在一次数学基础测试统计中,所有学生成绩服从正态分布(单位:分),现任选一
名学生,该生成绩在分到104分内的概率是( D )
A....服从正态分布,,则( A )
A. B. C. D,
8.设,则落在内的概率是( )
A. B. C. D.
9.(07安徽卷,10)以表示标准正态总体在区间内取值的概率,若随机变量服从正态分布,则概率等于( )
A. B. C. D.
10.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为,则下列命题不正确的是 ( B )
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分;
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同;
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同;
D.该市这次考试的数学成绩标准差为10.
11.设随机变量,且,则=( B )
12.(07全国卷Ⅱ,14):在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在内取值的概率为0.4,则ξ在内取值的概率为----------。
13.设随机变量服从标准正态分布。已知,则( C )
A. 0.025
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