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第二讲 映射、函数、函数的图象与性质 一、映射、函数 [知识要点] 映射有关概念 函数定义，定义域、值域 [能力训练] 合的并集，当时，与视为不同的对，则这样的对的个数为（ ）（1993年全国高中数学联赛试题） （A） 8 （B） 9 （C）26 （D）27 [解法一]：若，则满足题意的有：即这时的配对个数有：；仿此，若（或），满足题意的的个数，即配对个数有：；于是，全部配对个数有：。 [解法二]：且的情形只有1个配对：，而的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（D）。 [评注]：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。 设={}， 写出一个：，使得为单射，并求所有到的单射的个数。 写出一个：，使得不是单射，并求所有这些映射的个数。 到的映射能否是满射？ 解：（1）作映射：，使得 则此映射即为到的一个单射，这种单射的个数为。 （2）作映射：，可以先求到的映射的个数：分四步确定的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为个，因此满足条件的映射的个数为－=505。 不能。由于中的每一个元素恰与中的一个元素对应，||=4，||=5， 所以中至少有一个元素在中找不到与它对应的元素，因此到的满射不存在。 说明：一般地，若到有一个单射，则||≤||，若到有一个满射， 则||≥||,若到有一个一一映射,则||=|| 思考：在上述问题中,如何求从到的子集上的一一映射的个数? 中的4个元素的子集共有个，从到的每4个元素的子集上的一一映射各有个，所求的映射的个数是=120个。 若函数的值域为，则实数的取值范围是________________。（94年第5届“希望杯”全国数学邀请赛） [解法一]：根据函数值域定义，对于任意实数，关于的方程即恒有解，因此——（*） 恒成立，（*）式成立的充要条件是，解得或。 [解法二]：根据对数函数和二次函数的性质，的最小值不在于0，即解得或。 [评注]：解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于的二次方程）获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的性质获得思路。 对实数，求函数的最大值。（96年美国中学数学竞赛题） [解法一]：的定义域为[6，8]，，当时，；，当时，，从而当时有最大值。 [解法二]：定义域为[6，8]，令，，。， ……（1）。，代入（1）得：，易知，……（1），，当时（1）、（2）同时取等号。故有最大值。 [解法三]：的定义域为[6，8]，，，在[6，8]上是减函数，从而当时有最大值。 评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若，同时在处取得最大值，则在处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若在闭区间[a,b]上为单调函数，则在端点处取得最值”。 设集合≤≤9, ∈N},.定义到的映射：（。若都是中的元素，且满足：（ ）39，（66。求的值。 解：由题意得 （1） （2） （1）+（2），（2）－（1）得 （3） （4） 由于0＜＜9，≤18，0＜＜9，≤18，所以由（3）、（4）可得 =7，=15，=3，=9 解得 已知函数的定义域为[－1，1]，求的定义域，其中＞0。 解：的定义域应是下列两个集合的交集： ≤≤1}=[－,] ≤≤1}=[－,] 当≥1时，≥，－≤－, 所以 当0＜＜1时, ＞，－＜－，所以 因此，的定义域为[－,]（0＜＜1）；[－,]（当≥1时） 二、 函数的图象与性质 [知识要点]： 函数的图象：坐标为的点的集合称为函数的图象，其中是函数的定义域。 图象变换：平移变换、对称变换 函数性质：奇偶性、单调性、周期性 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的正数，使得当取定义域中的每一个数时，总成立，那么称函数为周期函数，正数称为这个周期函数的周期，如果所有周期中存在最小值，称为该函数的最小正周期。 [能力训练] 作出下列函数的图象： （1） 解：（1）先作出的图象，然后将此图象在轴下方的部分对称地翻折到轴的上方即可。 （2）因是偶函数，其图象关于轴对称，于是我们先作出在≥0时的图象，然后作出它关于轴对称图形即可。 为何实数时,方程有四个互不相等的实数根。 解：将原方程变形为，设，作出其图象，而是一条平行于轴的直线，原方程有四个互不相等的实根，即直线与曲线有四个不同的交点，由图象可知，，即 已知（a、b；实数）且，则的值是 （ ） （19