3-6 定积分的换元法和分部积分法.ppt

* 定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。 先来看一个例子 例1 换元求不定积分 令 则 故 为去掉根号 令 则 当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3 于是 尝试一下直接换元求定积分 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量 一、换元公式 证 应用换元公式时应注意: （1） （2） 用 ) ( t x j = 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也 相应的改变 . 计算 解1 由定积分的几何意义 等于圆周的第一象限部分的面积 解2 故 o 例2 令 解4 令 仍可得到上述结果 解3 解 令 例3 计算 定积分的换元积分公式也可以反过来使用 为方便计 将换元公式的左、右两边对调 同时把 x 换成 t ， t 换成 x 这说明可用 引入新变量 但须注意如明确引入新变量，则必须换限 如没有明确引入新变量，而只是把 整体视为新变量，则不必换限 注 例4 计算 解 例5 计算 解 原式 例6 计算 解 令 原式 例7 计算 解 原式 偶函数 奇函数 四分之一单位圆的面积 定积分的换元法 二、小结 1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应。 2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。 思考题 解 令 思考题解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是 定积分的分部积分公式 推导 定积分的分部积分法 一、分部积分公式 解 令 则 例8 计算 例9 计算 解 例10 计算 解 例11 设 求 解