3.1向量和矩阵的范数.ppt

定理3.9 --------(3.8) 证明 3.1.3、方程组的性态条件数与摄动理论 （一） 线性代数方程组的性态 判断一个计算方法的好坏，可用方法是否稳定、解的精确度高低以及计算量、存储量大小等来衡量。然而，对于不同的问题，同一方法却可以产生完全不同的效果，这就涉及到所提供问题的性态，即“好、坏”。 例3.3.5 可见，在上述方程组中，系数误差的小扰动对解的影响不大。 可见，在上述方程组中，系数误差的小扰动对解的影响很大。 思考:求解 时, A 和 的误差对解 有何影响？ ? 设 A 精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即 绝对误差放大因子 又 相对误差放大因子 ? 设 精确，A有误差 　 ，得到的解为 ，即 (只要? A充分小，使得 是关键 的误差放大因子，称为 A的状态数(条件数)， 记为cond (A) , 定义3.9 定义3.8 矩阵A的条件数与所取范数有关。通常记 显然，当A对称时， 条件数有下列性质： * * 第三章 线性方程组的数值解法 3.1 向量与矩阵的范数 3.2 直接法 3.3 迭代法 3.4 迭代法的收敛性分析 范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的长度能否定义呢? 为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代的 收敛性，需要对n维向量空间中的向量以及矩阵引进 “大小”的概念。 对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。 对于 维线性空间，定义了内积以后，向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推广。利用公理化的方法，可以进一步把向量长度的概念推广到范数。 §3.1 向量与矩阵的范数 从向量的长度或模谈起 ，当且仅当 时，等号成立。 例 1　复数 的长度或模指的是量 显然复向量 的模 具有下列三条性质： ，当且仅当 时，等号成立。 显然向量 的模 也具有下列三条性质： 例 2　 维欧氏空间中向量 的长度或模定义为 定义3.3.1 按某种规则(或映射) （一） 向量的范数 由(3)可推出不等式： --------(1) --------(2) --------(3) --------(4) 显然 并且由于 例3.3.1 求下列向量的各种常用范数 解 向量范数是其分量的连续函数，即有下述定理： 定理3.1（向量范数连续性定理） 证明 有限维向量空间的范数等价性定理 定理3.2 容易验证： （1） ‖x‖2≤‖x‖1≤ n1/2‖x‖2； （2）‖x‖∞≤‖x‖2≤ n1/2‖x‖∞； （3）‖x‖∞≤‖x‖1≤ n‖x‖∞。 3种范数相互等价 向量序列的收敛性 定义3.3 如果向量序列{x(k)}?Rn和向量 x∈Rn满足 则称向量序列{x(k)}收敛于向量 x，记为 定理3.3 向量序列{x(k)}收敛于 x 的充分必要条件是 由向量范数的等价性定理可得到结论：如果在一 种范数意义下向量序列收敛时，则在任何一种范数意 义下向量序列亦收敛 证明： 定义3.4 3.1.2 矩阵的范数 由于大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时 参与运算，所以希望引进一种矩阵范数，它和向量范数 相联系而且和向量范数相容，即 为此我们引进矩阵的算子范数 --------(3.5) 定义3.5 定理3.4 --------(3.6) 定理3.5 向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数 证明： 对于2范数，应有 注意， ???????是半正定的对称阵，设其特征值为 以及其对应的正交规范特征向量为 则对任一满足 ???????????的向量 ??????????有 ???????????和 ???????????????????????? 于是，有 另一方面，若取 ?????，则有 所以 例3.3.4 求矩阵A的各种常用范数 解 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的