3.2.5隐函数与参数方程的导数.ppt

§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数 一、隐函数的导数 隐函数求导举例 二、由参数方程所确定的函数的导数 小结 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、隐函数求导法 二、由参数方程所确定的函数的导数 上页 下页 铃 结束 返回 首页 显函数与隐函数 下页 (1) 显函数: 我们把函数y可由自变量x的解析式 称 为 显函数. 也可以确定一个函数, 因为当 来表示的这种函数, 例如? y?sin x? y?ln x?ex 都是显函数? 若变量y与x之间的函数关系是由某一个 方程 0 ) , ( = y x F 所确定, 那么这种函数称为由方程 0 ) , ( = y x F 所确定的 隐函数. (2)隐函数: 把一个 隐函数 化为 显函数 , 称为 隐函数的显化 注意: 并不是所有的隐函数都可化为显函数. 如 方程 0 = + - y x e e xy 所确定的隐函数就不能显化。 隐函数求导法 , 就是不管隐函数能否显化 , 直 x 接在方程 0 ) , ( = y x F 的两端对 求导 , 由此得到隐 函数的导数， 若 y 是由 0 ) , ( = y x F 所确定的函数 , 将方程两边对 x 求导 , 但 要 把 y 看成 中间变量 , 应用复合函数求导 法则进行求导。 隐函数的求导法 提示: 例1 求由方程y2?2x y?9?0所确定的隐函数y的导数? 2y y??2y?2x y? ?0 ? 即 (y?x)y??y ? 方程中每一项对x求导得 解 (xy)??y+xy?. (y2)??2y?y?, 下页 从而 例2 求由方程y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数y?f(x)在x?0处的导数y?|x?0? 因为当x?0时? 从原方程得y?0? 所以 5y4?y??2y??1?21x6?0? 把方程两边分别对x求导数得 解法一 下页 5y4?y??2y??1?21x6?0? 根据原方程? 当x?0时? y?0? 将其代入上述方程得 2y??1?0? 从而 y?|x?0， y?0 ?0?5? 把方程两边分别对x求导数得 解法二 下页 例2 求由方程y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数y?f(x)在x?0处的导数y?|x?0? 例3 解 解得 解 下页 例4 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程? 方程两边求导数得 于是 在点 处y???1? 所求切线方程为 ? 即 ? 所求法线方程为 ? 即 x?y?0 ? 0 2 ) 1 ( 2 2 = + + x y x 解 y y x arctan ) 2 ( + = 解 练习 求由下列方程所确定的隐函数的导数 y?? f(x)?[ln f(x)]?? 对数求导法适用于求幂指函数y?[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数? 此方法是先在y?f(x)的两边取对数? 然后用隐函数求导法求出y的导数? 设y?f(x)? 两边取对数? 得 ln y?ln f(x)? 两边对x 求导? 得 对数求导法 下页 例1 求y?x sin x (x0)的导数? 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求. 解法一 上式两边对x 求导? 得 两边取对数? 得 ln y?sin x?ln x? y?x sin x?e sin x·ln x ? 下页 例2 已知 函数 解 等式两边取自然对数得 求 y ￠ x x y ln ln = 得 化简 得 练习 解 等式两边取自然对数得 (2) 由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的 求导问题。 解 等式两边取自然对数： 例3 上式两边对x求导? 得 说明? 严格来说? 本题应分x?4? x?1? 2?x?3三种情况讨论? 但结果都是一样的? 例4 求函数 ) 4 )( 3 ( ) 2 )( 1 ( - - - - = x x x x y 的导数 . 先在两边取对数? 得