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第3章 数值积分与数值微分 1 引言 数值求积的基本思想 微积分基本定理，对于积分 b I  a f ( x) dx , 只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛 -莱 f ( x) F ( x) 布尼兹 (Newton-Leibniz)公式： b a f ( x) dx  F ( b)  F ( a). 但对于下列情形： 2 sin x 2 （1）被积函数，诸如 等等，找不到用 , sin x x 初等函数表示的原函数； （2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表 f ( x) 时，牛 -莱布尼兹公式也不能直接运用.  因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点ξ， [ a, b] 成立 b a f ( x) dx  ( b  a) f ( ), 3  即：底为 而高为 的矩形面积恰等于所求 ba f ( ) 曲边梯形的面积 (图4-1). I 图4-1 4  问题在于点 ξ 的具体位置一般是不知道的，因而难以 f ( ) 准确算出 的值.  将 称为区间 上的平均高度. f ( ) [ a, b] f ( ) 只要对平均高度 提供一种算法，相应地便 获得一种数值求积方法. f ( a) f ( b)  用两端点“高度“ 与 的算术平均作为平均高度 f ( ) 的近似值，这样导出的求积公式 T  b  a [ f ( a)  f ( b)] （1.1） 2 是梯形公式 (几何意义参看图4-2). 5 图4-2 a  b c  f ( c)  用区间中点 的 “高度” 近似地取代平均 2 f (