4-3 傅氏级数.doc

第四章 级数 第三节 傅里叶级数 本节内容主要就是傅里叶级数的收敛定理：设为周期为的周期函数，且满足狄氏条件，则的三角级数一定收敛且 其中，。 特别若为奇函数，则 若为偶函数，则 注：（1）若在上有定义，且满足狄氏条件，那么在上展开为周期为的三角级数。（先要对以为周期作周期开拓） （2）若在（或）上有定义，且满足狄氏条件，那么可在（或）上展开为周期为的余弦级数或正弦级数。（若展开为余弦级数，先要作偶开拓；若展开为正弦级数，先要作奇开拓） 本节内容不多，重点是掌握两点（1）傅里叶系数的计算，（2）确定傅里叶级数的和。 例1．设，将展开为周期为的傅氏级数，则。 解： 例2．设，，则． 答案： 例３．设为周期为２的周期函数，且，则的傅氏级数在处收敛于，在处收敛于．（答案：） 例４．设，的余弦级数的和函数记为，则．（答案：） 例４．设在闭区间上可积，令， 问取何值时，最小． 解：的傅里叶系数为 ， 可见　时最小． 例５．（１）设以为周期且可积，并且在上单调减少，，证明：。 （２）设以为周期，且在上可导，并且可积且单调减少，，证明：。 证明：（１） 而 故。 （２） ，由（１）知。 Page 1 of 3