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4-5.4 第二类换元法
第四章
第五章
第二类换元法
主要内容
一、不定积分的第二类换元法
二、定积分的第二类换元法
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
第四章
第二节 不定积分
不定积分的第二类换元法
定理 设x ϕ(t ) 是单调可导函数, 且ϕ(t ) ≠0,
f [ϕ(t )]ϕ(t ) 具有原函数, 则有换元公式
∫f (x ) dx ∫f [ϕ(t )]ϕ(t ) d t −1
t ϕ (x )
−1
其中t ϕ (x ) 是 x ϕ(t ) 的反函数.
证 略
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
dx
例1 求 ∫ 2 2 (a 0) .
x +a
解 令 x a tan t ,
则dx a sec2 t d t ,
2 2 2 2 2
x +a a tan t +a a sect ,
2
a sec t
原式 ∫ a sec t d t ∫sec t d t 2 2
x +a x
ln sec t +tan t +C1 t
a
2 2
ln [ x +a + x ]+C1
a a
ln[x + x 2 +a 2 ]+C (C C1 −ln a, 公式)
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
4
x
例2 求 ∫ 2 3 dx .
(1 −x )
解 令x sin t , 则dx cos t d t
2 2
1 −x 1 −sin t cos t
1
4 2 2 x
sin t
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