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4-6-定积分的几何应用
《微积分A 》习题解答
习题4.6(P262)
2
x
1. 求由抛物线 3 2 与直线x4 0y − − 所围图形的面积.
y
4
3 2 −x4 =−0y
⎧ x 2 y
解：联立曲线方程⎨⎪y 4 得交点 2
⎪ x y x
3 −2 −4 0
⎩ y
2
(2, 1) ，(4, 4) ，选取x 做为积分变量， o 2 4 x
3 x 2
则dA ( x −2 − )dx ，故
2 4
4
2 3
4 3 x 3 2 x 1
− − − −
A ∫2 ( 2 x 2 4 )dx ( 4 x 2x 12 ) 3
2
2. 求正弦曲线y sin x 在区间[0, 2π]上的一段与x 轴所围图形的面积.
y
解：设 为曲线
A1 y sin x 在[0, π] 上的
面积，则dA1 sin xdx ，由对称性得：
y sin x
π π
A 2A1 2∫0 sin xdx 2(−cos x ) 0 4
o π 2π x
3. 求由抛物线y 2 −4(x −1) 与y 2 −2(x −2) 围成的图形的面积.
⎧ 2
y −4(x −1)
解：联立曲线方程⎨ 2 得交点
y −2(x −2)
⎩
(0, −2) ，(0, 2) ，选取y 做为积分变量， y
y 2 −4(x −1)
设 为两条曲线在第一象限围成的图形的面积 则
A
1
2 2
y y
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