4.3 线段的长短比较 名师导航.doc

4.3 线段的长短比较 名师导航 知识梳理 1.线段的性质：__________________________. 2. ______________________叫线段的中点. 如图，AC=_________=__________.AB=2__________=2__________. 线段的基本性质“两点之间线段最短”和线段的中点定义都是初中几何的基础，尤其是中点，在后面的学习中会经常用到，一定要结合图形，将中点的所有表示方法记牢. 疑难突破 线段的基本性质“两点之间的所有连线中，线段最短”的理解与应用 剖析：本性质其实是线段公理，它的正确性是公认的，我们可以通过测量两点间的各种连线体会其正确性，线段公理的应用比较广泛，应该注意观察生活，体会其应用. 线段公理在生活中的应用很多，如在生活中，绿地上被人踩出的小路，生产中，修路、修水渠、修隧道等都用到这个公理.可通过这些实例体会它的本质. 问题探究 问题 比较线段长短的方法有哪些？ 探究：比较线段长短的方法有两种：(1)叠合法；(2)度量法.前者是从图形的角度来比较的；后者是从数量的角度来比较的. 比较的方法可以类比我们平时比身高，我们既可以直接站在一起，也可以测出身高的值，然后比较数值的大小. 典题精讲 例1体育课上我们是怎样测定推铅球的成绩的？为什么？ 答案：把皮尺的起点放在投掷区的圆心A处，然后拉紧皮尺到铅球落地点B，读出量数，以A、B两点的距离与投掷区圆的半径的差来判断成绩.这是根据线段公理：在所有连结两点的线中，线段是唯一的，而且是最短的，所以两点的距离可以作为统一的度量标准. 绿色通道：两点的距离是数学中的一个重要概念，它是连结两点的线段的长度而不是线段这个图形.线段公理与直线公理一样，是几何学作为出发点的一个基本规定，它是用来推理证实其他图形性质的基础. 变式训练 如图，A、B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上修一个仓库P，使它到A、B的距离和最小，试在l上标出点P的位置，并说明理由. 答案：因为两点之间线段最短，故连结A、B，AB与l的交点P即为题目所求. 例2如图，点A、B、E、C、D在同一直线上，且AC=BD，点E是BC的中点，那么点E是AD的中点吗？为什么？ 思路分析：根据中点的定义，要说明E是AD的中点，只要说明AE=ED即可. 答案：点E是AD的中点. ∵A、B、E、C、D在同一直线上，AC=BD(已知)， ∴AC-BC=BD-BC(等式性质)， 即AB=CD(线段和、差意义). 又∵点E是BC的中点(已知)， ∴BE=CE(线段中点的定义). ∵AB+BE=CD+CE(等式性质)， 即AE=ED(线段和、差意义)， ∴点E是AD的中点(线段中点的定义). 绿色通道：(1)在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要步步有根据.(2)要培养一题多解的思维能力，注意选择比较简捷的解题方法. 变式训练 已知，如图，点C在线段AB上，线段AC=6 cm，BC=4 cm，点M、N分别是AC、BC的中点，线段MN=__________. 答案：5 cm 例3如图，比较下面三角形三条边的长短，并用“＞”把三条边连起来. 解析：一种方法是用刻度尺直接度量三角形三条边，就可以比较出三条边的长短；另一种方法是把三条边的一个端点放于射线的端点上，然后在这条射线上作出这三条线段就容易比较出长短. 答案：(这里只用后一种方法进行比较) 如图，作射线OE，分别在射线OE上截取OA′=AC，OB′=AB，OC′=BC. 显然，OA′＞OC′＞OB′，所以AC＞BC＞AB. 绿色通道：当要比较不同位置的线段时，我们可以分别度量出它们的长度进行比较，也可以将它们移到同一条直线上比较. 变式训练 观察下面三组图形，分别比较线段a、b的长短， 再根据所学方法验证你的结论是否正确. 答案：图中的a、b都一样长.