4.直角三角形、勾股定理、面积.doc

4.直角三角形、勾股定理、面积 知识考点： 了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。 精典例题： 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。 答案： 【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。 分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。 答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ） 探索与创新： 【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。 略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为： （小时）＝24（秒） 评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。 【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。 ∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。 由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。 （2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE＝AF＝160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。∴EF＝60（千米）。 ∵该台风中心以15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）。 （3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）。 评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如果直角三角形的边长分别是6、8、，则的取值范围是 。 2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝ 。 3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝ 。 4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则＝ 。 5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为 。 6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝ 。 7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝ 。 8、如图