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5 线性方程组的迭代法
计算方法 线性方程组的迭代法 线性方程组 的数值解法，其中，[A]=[aij]是n阶非奇异矩阵。 两类解法： 直接法； 迭代法：极限方法，即对任意给定的初始近似向量x0，x1，x2，…，xr-1，按某种规则逐次生成一个无穷向量序列： x0，x1，x2，…，xr-1， xr，…，xk，… 并使极限 一般迭代公式可写成： 式中，r为某一个正整数， 的一个(向量值)函数。 ——r阶迭代公式或r阶迭代法。 给定初始近似向量 ，可逐次生成向量序列。 若对任意给定的一组初始近似向量x0，x1，x2，…，xr-1，由迭代法生成的向量序列{xk}都收敛于方程组的解x*，则称该迭代法收敛，否则说该迭代法不收敛或发散。 e(k)=x*-xk 为迭代法的第k步误差向量。若迭代法收敛，则称为第k步迭代得到的方程组的近似解。 一阶线性迭代法的一般迭代公式可写成： 式中，{Hk}为n阶矩阵序列。 记Gk=I-HkA， gk=Hkb 从而有：xk=Gkxk-1+gk 在一阶线性迭代公式中，取Gk=G，gk=g(k=1,2,…)得到迭代公式：xk=Gxk-1+g。 称为一阶线性定常迭代法，称G为该迭代法的迭代矩阵。 Jacobi迭代法 设线性方程组Ax=b 的系数矩阵A=[aij]n×n非奇异，且主对角元素aii≠0，i=1，2，…，n。将矩阵A分解为 A=D-(D-A) 其中，D=diag(a11，a22，…，ann)，从而方程组Ax=b可写成 Dx=(D-A)x+b 或x=(I-D-1A)x+D-1b。 令B=I-D-1A，g=D-1b 则有x=Bx+g，从而有一阶线性定常迭代公式 xk=Bxk-1+g，k=1，2，… ——Jacobi迭代法，B为Jacobi迭代法的迭代矩阵。 * *
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