5-4 奈奎斯特.ppt

5-4 奈奎斯特稳定判据;一、幅角定理 幅角定理又称映射定理，建立在复变函数理论基础上。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，首先简要介绍幅角定理。 设有复变函数 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数.; 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,即F(s)在s平面上除奇点外处处解析， 那么，对于s平面上的每一个解析点，在F(s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则; 如图所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点。 ; 如图所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲 线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数 的性质而定。 ; N0，?F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；N0，?F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周； N=0，?F不包围F(s)平面坐标原点。 上图中,S平面上有三个极点和三个零点。被?s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由幅角定理得N=P-Z=1-2 = -1, 说明?s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线?F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，可确定辅助函数 被封闭曲线?s 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z。; 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此当从 平面上确定了封闭曲线?F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线?s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）可由下式计算 Z=P-N 封闭曲线?s和?F 的形状不影响上述结论。; 当解析点s1沿封闭曲线?s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线?s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线?s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2π弧度（一周）。这样，对图（a），Z=1，P=0， ，即N=－1， 绕 平面原点顺时针旋转一周；对图（b），Z=0，P=1， ，即N=1， 绕 平面原点逆时针旋转一周；对图（c），Z=1，P=1， ，即N=0， 不包围 平面原点。将上述分析推广到一般情况则有 由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z ;; 二、基于辅助函数 的奈氏判据 分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线?s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图，该曲线包括S平面的整个虚轴（由 到 ）及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围了F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。; 若辅助函数 的解析点s沿奈氏轨迹 ?s 按顺时针连续环绕一周，它在 平面上的映射?F 按逆时针方向环绕其原点 P周，则系统是稳定的，否则是不稳定的。;