5.1 代数插值.ppt

第五章 插值与逼近 1、已知函数 在区间 上连续，而函数的解析 在一个简单函数类 中求一个函数 ，使其函数曲线 表达式不知道，取若干互异点 ，这是所谓插值问题； 过所给点，即 为插值基点， 为满足插值条件。 称 2、已知函数 在区间 上连续，在一个简单函 ，使 数类 中求一个函数 这是所谓最佳平方逼近问题； 若函数 的解析表达 式不知道，知道其图象上带误差的若干点 中求一个函数 时，以上问题变为在一个简单函数类 ，使 ，其中， ，这是离散最佳平方逼近问题（称为曲线拟合）。 已知插值基点 处 的函数值 ，在多项式函数类 中求一个不超过 次多项式 满足插值条件 ，称此问题为代数插值问题，称 为插值多项式。 §5.1 代数插值 一、代数插值与插值精度 定理1 若 分别是函数 在插值基点 处的函数值，则唯一存在不超过 次的插值多项式 满足插值条件 证明. 由 ，可得关于 的线性方程组 其系数行列式为 ，由于 互异，则 由方程组唯一确定。 记 ，称 为插值余项或截断误差。 定理2 设 是互异实数，对于给定 是包含 的最小闭区间， 在 上是 阶可微的实值函数，则存在 使得 其中， 是 中最大 开区间。 在 证明. 上连续，且对于任意 ，令 其中 与 有关。 ，若 则 不妨设 令 在 有 个互异零 点 由Roll定理 在 至少有 个互 零点；由Roll定理 在 至少有 个互异零点； ，而 使得 由Roll定理 在 至少有 一个零点，即存在 由定理2知，若存在 使 二、Lagrange插值法 为Lagrange插值多项式，其中 1 3 2 1 2 -1 例1. 已知 函数表为 试求 解. -2 -1 0 1 2 0.25 0.5 1 2 4 例2.已知 的函数表为 解. 1）取 ，则 ， 1、用 ，估计截断误差并判断结果的有效数字； ，估计截断误差并判断结果的有效数字。 2、用 1.3作为 近似只有整数一位有效数字； 2）取 ，则 1.248作为 近似至少有三位有效数字。 0 -1 2 1 5 -1 练习1. 已知 函数表如下，试求 。 解. 三、Newton插值法 称 为Newton插值多项式。 差商表 -2 -1 0 1 2 0.25 0.5 1 2 4 例3.已知 的函数表为 解. 1）取 ，则 ，建立差商表： ，估计截断误差并判断结果的有效数字。 2、用 1、用 ，估计截断误差并判断结果的有效数字； 一阶差商 二阶差商 0 1 1 2 1 -1 0.5 3/4 1/4 1.35作为 近似只有整数一位有效数字； 2）取 ，则 建立差商表如上， 1.293125作为 近似至少有二位有效数字。 一阶差商 二阶差商 1.02 0.01980 1.06 0.05827 0.96175 1.08 0.07696 0.9345 -0.45417 0.07696 0.05827 0.01980 1.08 1.06 1.02 练习2.已知 解.建立差商表： 用 ，估计截断误差并判断结果的有效数字。 则Newton插值多项式为： 0.048788751作为 近似至少有四位有效数字。